高考数学大一轮复习函数导数及其应用函数模型及其应用教师用书理.doc

第九节　函数模型及其应用
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
2016，全国卷Ⅲ，4,5分(用函数图象刻画变化过程)
2015，北京卷，8,5分(用函数图象刻画变化过程)
2014，湖南卷，8,5分(平均增长率问题)
2014，四川卷，13,5分(指数函数模型的应用)
1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点；
2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。

微知识　小题练

自|主|排|查
1．三种函数模型性质比较

y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调递增函数
单调递增函数
单调递增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
微点提醒
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。
2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键。
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P59A组T6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　)
A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m)
B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)
C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m)
D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
【解析】　设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m且x∈N)。故选B。
【答案】　B
2．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
【解析】　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意。故选D。
【答案】　D
二、双基查验
1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x)　 B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
【解析】　由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)。故选B。
【答案】　B
2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　)

A. B.

C. D.
【解析】　由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B。
【答案】　B
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)。一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
【解析】　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值。故选B。
【答案】　B
4．某工厂采用高科技技术，在2年内产值的月增长率都是a，则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为(　　)
A．a12－1 B．(1＋a)12－1
C．a D．a－1
【解析】　不妨设第1年8月份的产值为b，则9月份的产值为b(1＋a)，10月份的产值为b(1＋a)2，以此类推，到第2年8月份是第1年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第2年8月份产值是b(1＋a)12。又由增长率的概念知，这2年内的第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为：＝(1＋a)12－1。
【答案】　B
5．一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的砂子，则再经过________min，容器中的砂子只有开始时的八分之一。
【解析】　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的砂子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的砂子只有开始时的八分之一。
【答案】　16

微考点　大课堂

考点一
用函数图象的变化刻画变化过程
【典例1】　(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃。下面叙述不正确的是(　　)

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
【解析】　由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D错误。故选D。
【答案】　D
反思归纳　当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。
【变式训练】　(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时。相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解析】　对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；
对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；
对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；
对于D选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对。故选D。
【答案】　D
考点二
已知函数模型的实际问题
【典例2】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2。其中3<x<6，a为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【解析】　(1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2。
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6。
从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)。
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值42

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点。
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【答案】　(1)2　(2)4元/千克
反思归纳　求解已给函数模型解决实际问题的关注点：
1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。
2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。
3．利用该模型求解实际问题。
【变式训练】　(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)。若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是______小时。
【解析】　依题意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，
所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(小时)。
【答案】　24
考点三
构建函数模型的实际问题……多维探究
角度一：构建二次函数模型
【典例3】　某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)
A．10.5万元　　　　　　 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
【解析】　设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32。
因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元。故选C。
【答案】　C
角度二：构建分段函数模型
【典例4】　(2017·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数。当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年。
(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式。
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值。
【解析】　(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；
当4<x≤20时，设v＝ax＋b，
显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5。
所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5。
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米。
【答案】　(1)v＝
(2)10尾/立方米　12.5千克/立方米
角度三：构建指数函数、对数函数模型
【典例5】　(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
【解析】　(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%。故选C。
(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损。故选B。
【答案】　(1)C　(2)B
反思归纳　解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答。以上过程可简洁表述为：
―→―→―→

微考场　新提升

1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

解析　出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B。故选C。
答案　C
2．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　)
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
解析　因为每次都把油箱加满，第二次加入48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)。故选B。
答案　B

3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为(　　)
A．3　　　　 B．4
C．5　　　　 D．6
解析　由题图，易求得y与x的关系式为
y＝－(x－6)2＋11，则＝12－≤12－10＝2，∴有最大值2，此时x＝，即x＝5。故选C。
答案　C
4．(2016·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝t2米，那么，此人(　　)
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
解析　已知s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7。
当t＝6时，d取得最小值7。故选D。
答案　D
5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等。若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________。
解析　由题意知七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，
根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，
令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥或t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，
解得x≥20。故x的最小值为20。
答案　20