高考数学理基础知识总复习名师讲义平面向量的数量积高考.doc

第三节　平面向量的数量积

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

知识梳理
一、平面向量的数量积的定义
1．向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夹角．

当且仅当两个非零向量a，b同方向时，θ＝0°，当且仅当a，b反方向时，θ＝180°，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的．
2．a与b垂直：如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
3．a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝cos θ，规定0·a＝0，非零向量a与b当且仅当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

4．b在a方向上的投影：|OP|＝cos θ∈R(注意是射影)．
5．a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．
二、平面向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：
1．e·a＝a·e＝cos θ.
2．a⊥b⇔a·b＝0.
3．当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝－，特别地，a·a＝a2＝2，即|a|＝.
4．cos θ＝.
5.≤.
三、平面向量数量积的运算律
1．交换律成立：a·b＝b·a.
2．对实数的结合律成立：·b＝λ＝a·.
3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·.
四、平面向量数量积的坐标表示
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2．若a＝(x，y)，则|a|2＝a·a＝x2＋y2，＝.
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.
4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ ＝ .

基础自测
1．(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为(　　)
A.　　 　B.
C. D.

解析：＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.故选A.
答案：A

2．(2013·佛山一模)已知a＝(1,2)，b＝(0,1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，则k＝(　　)
A．2 B．－2
C．8 D．－8

解析：∵a＝(1,2)，b＝(0,1)，∴a＋2b＝(1,4)，
又因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝k－8＝0，
解得k＝8，故选C.
答案：C

3．在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________.

解析：∵·＝4，∴bccos A＝＝4，得b2＋c2－a2＝8，
同理a2＋c2－b2＝24，两式相加得c2＝16，∴c＝4.
答案：4

4．已知平面向量α，β，＝1，＝2，α⊥(α－2β)，则的值是________．

答案：

1．(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

解析：a·b＝|a|·|b|·cos θ.
若|a·b|＝|a|·|b|⇒cos θ＝±1，则向量a与b的夹角为0或π，即a∥b为真；
相反，若a∥b，则向量a与b的夹角为0或π，
即|a·b|＝|a|·|b|.
答案：C

2．(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

解析：由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
答案：

1．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为(　　)
A．－8 B．－6 C．8 D．6

解析：由已知可得|a|＝5，|b|＝2，则cos θ＝＝＝.∴sin θ＝.∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝5×2×＝6.故选D.
答案：D

2．(2013·韶关二模)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)；则cos〈a，b〉的值是________．

解析：由题意可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，
即1－1×2×cos〈a，b〉＝0，
解得cos〈a，b〉＝.
答案：