顶点覆盖问题的NP完全证明和近似算法求解.doc
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1、顶点覆盖问题的NP完全证明和顶点覆盖优化问题的近似算法顶点覆盖(VERTEX COVER)给定一个无向图和一个正整数,若存在,使得对任意的,都有或,则称为图的一个大小为的顶点覆盖。顶点覆盖问题的描述判定问题:VERTEX COVER输 入:无向图,正整数问 题:中是否存在一个大小为的顶点覆盖,这是一个NP完全问题顶点覆盖的NP完全性证明NP性的证明:对给定的无向图,若顶点是图的一个大小为顶点的覆盖,则可以构造一个确定性的算法,以多项式的时间验证,及对所有的,是否有或。因此顶点覆盖问题是一个NP问题。完全性的证明:我们已知团集(CLIQUE)问题是一个NP完全问题,若团集问题归约于顶点覆盖问题,
2、即,则顶点覆盖问题就是一个NP完全问题。我们可以利用无向图的补图来说明这个问题。若向图,则的补图,其中。例如,图1(b)是图1(a)的补图。在图1(a)中有一个大小为3的团集,在图1(b)中,则有一个大小为2的顶点覆盖。显然可以在多项式时间里构造图的补图。因此,只要证明图有一个大小为的团集,当且仅当它的补图有一个大小为的顶点覆盖。(a) (b)图1无向图及补图必要性:如果中有一个大小为的团集,则它具有一个大小为个顶点的完全子图,令这个顶点集合为。令是中的任意一条边,则。所以中必有一个顶点不属于,即中必有一个顶点属于,也就是边被覆盖。因为是中的任意一条边,因此,中的边都被覆盖,所以,是的一个大小
3、为的顶点覆盖。充分性:如果中有一个大小为的顶点覆盖,令这个顶点覆盖为,是中的任意一条边,则和至少有一个顶点属于。因此,对于任意的顶点和,若并且,则必然有,即是中一个大小为的的团集。综上所述,团集(CLIQUE)问题归约于顶点覆盖(VERTEX COVER)问题,即。所以,顶点覆盖问题是一个NP完全问题。顶点覆盖优化问题的近似算法上面已经证得,顶点覆盖问题是一个NP完全问题,因此,没有一个确定性的多项式时间算法来解它。顶点覆盖的优化问题是找出图中的最小顶点覆盖。为了用近似算法解决这个问题,假设顶点用编号,并用下面的邻接表来存放顶点与顶点之间的关联边。 /*邻接表结点的数据结构*/ /*邻接结点的
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