24.2点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)(含答案).doc

24．2　点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1　点和圆的位置关系

1．如图，⊙O的半径为r.

(1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r.
(2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___．
2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆．
3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___．
4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立．

知识点1：点与圆的位置关系
1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D )
A．8 cm　　　B．6 cm　　　C．4 cm　　　D．2 cm
2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．
3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：
(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.
解：(1)在圆内　(2)在圆上　(3)在圆外

知识点2：三角形的外接圆

4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___．
5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___．
6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C )
A．任意三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．

解：图略．连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，且相交于点O，点O 即为所求

知识点3：反证法
8．用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D )
A．相交
B．两条直线不垂直
C．两条直线不垂直于同一条直线
D．垂直于同一条直线的两条直线相交
9．用反证法证明：“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．
10．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°，求证：l1__∥___l2.

证明：假设l1__不平行___l2，即l1与l2相交于一点P，
则∠1＋∠2＋∠P__＝___180°(__三角形内角和定理___)，
所以∠1＋∠2__＜___180°，
这与__已知___矛盾，
故__假设___不成立，
所以__l1∥l2___．

11．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是( A )
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外

12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是__(－2，－1)___．
13．在平面直角坐标系中，⊙A的半径是4，圆心A的坐标是(2，0)，则点P(－2，1)与⊙A的位置关系是__点P在⊙A外___．
14．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝__30°或150°___.
15．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？

解：(1)0＜r＜3　(2)3＜r＜4

16．如图，⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为(1，1)，试判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)与⊙O′的位置关系．

解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上

17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．

解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)
(2)25π平方米

18．如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．

解：(1)由SAS可证　(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD，∴四边形BECD是菱形

24．2.2　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系

1．直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系．
2．直线a与⊙O__有唯一___公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O__没有___公共点，则直线c与⊙O相离．
3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：
(1)直线l1与⊙O__相离___，则d__＞___r；
(2)直线l2与⊙O__相切___，则d__＝___r；
(3)直线l3与⊙O__相交___，则d__＜___r.

知识点1：直线与圆的位置关系的判定
1．(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( A )
A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．无法判断
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
3．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( C )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ cm；(3)r＝2 cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，可求CD＝.(1)r＝1.5 cm时，相离；(2)r＝ cm时，相切；
(3)r＝2 cm时，相交

知识点2：直线与圆的位置关系的性质
5．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( A )
A．r＞5 B．r＝5
C．0＜r＜5 D．0＜r≤5

6．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC所在的直线向下平移，当l与⊙O相切时，平移的距离为( B )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
7．已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，若d，r是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，则m的值为__4___．
8．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？

解：过点O作OD⊥AB于D，可得OD＝OB＝x.当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2，∴BO＝4，∴0＜x＜4时，相交；x＝4时，相切；x＞4时，相离

9．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( C )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
10．已知⊙O的半径为3，直线l上 有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( D )
A．相切 B．相离
C．相离或相切 D．相切或相交
11．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O相切，则以d，r为根的一元二次方程可能为( B )
A．x2－3x＝0 B．x2－6x＋9＝0
C．x2－5x＋4＝0 D．x2＋4x＋4＝0

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___．
13．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有__3___个点到直线AB的距离为3.
14．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．

解：(1)图略，⊙P′与直线MN相交　(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN，P′N.由题意可知：在Rt△P′QN中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出QN＝；在Rt△PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝，由勾股定理可求出PN＝＝

15．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．
(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙P的位置关系；
(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系；
(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．

解：∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．(1)当⊙P和x轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x＝1.5或x＝－0.5，∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5＜2，|－0.5|＜2，∴y轴与⊙P相交　(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2，得2x－1＝3或2x－1＝－5，∴P1(2，3)，P2(－2，－5)．∵|－5|＞2，且|3|＞2，∴x轴与⊙P相离　(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切

16．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？

解：(1)过O点作OF⊥AM于F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝AD＝2
(2)过O点作OG⊥AM于G，∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴BC＝2，∴BG＝CG＝，∴OG＝.∵∠A＝30°，∴OA＝2，∴x＝AD＝2－2

第2课时　切线的判定与性质

1．经过半径的__外端___，并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线．
2．圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径．

知识点1：切线的判定
1．下列说法中，正确的是( D )
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线

2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠ABC＝90°___．
3．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线．

解：连接OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线

4．(2014·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

解：(1)如图　(2)AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于点D，∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，∴OD＝OC，∴AB与⊙O相切

知识点2：切线的性质
5．(2014·邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是( A )
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．40°
,第5题图),第6题图),第7题图)
6．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝__4___.
7．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切于点A.若∠MAB＝30°，则∠B＝__60°___.
8．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.

解：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC

9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠PCA＝( D )
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．67.5°
,第9题图),第10题图),第11题图)
10．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是( D )
A．OC∥AE B．EC＝BC
C．∠DAE＝∠ABE D．AC⊥OE
12．(2014·自贡)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为__3___cm.
,第12题图)　　　,第13题图)
13．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆于点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为__4___．
14．(2014·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD.
(1)求证：∠A＝∠BCD.
(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

解：(1)∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD　(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由：如图，连接DO.∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切

15．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数．

解：∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥OP，即∠OCP＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB－∠OCB＝∠OCP－∠OCB，即∠ACO＝∠BCP.又OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠BCP＝∠BAC.∵PD是∠APC的平分线，∴∠CPD＝∠APD.∵∠ABC＝∠CPD＋∠APD＋∠BCP，∠BAC＋∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠CPD＋∠APD＋∠BCP＝90°，∴∠CDP＝∠APD＋∠BAC＝45°

16．(2014·德州)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长；
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：(1)连接BD.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝＝＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝AB＝×10＝5(cm)
(2)直线PC与⊙O相切．理由：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE.∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠PCB＝∠CAE，∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝∠ACB＝90°，∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切

第3课时　切线长定理

1．经过__圆外___一点作圆的切线，这点与切点之间__线段___的长，叫做这点到圆的切线长．
2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的__两___条切线，它们的切线长__相等___，这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角．
3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内___心，它是三角形__三条角平分线___的交点．

知识点1：切线长定理
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( B )
A．4　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．8
,第1题图)　　　,第2题图)
2．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG＝－1，则△ABC的周长为( A )
A．4＋2 B．6
C．2＋2 D．4

3．(2014·天水)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠P＝__80°___．
4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB的度数；

(2)当OA＝3时，求AP的长．

解：(1)∠APB＝60°
(2)AP＝3

知识点2：三角形的内切圆

5．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝( A )
A．130° B．120° C．100° D．90°
6．已知△ABC的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2，则△ABC的面积为__24___．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径为__2___．
8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．

解：根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AE＝AF＝ x cm，则CE＝CD＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm

9．正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( B )
A．2 B．2 C. D．3
10．如图，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是( C )
A．65° B．115°
C．65°或115° D．130°或50°
,第10题图)　　　,第11题图)
11．(2014·泰安)如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：
(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.
其中正确的个数为( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，∠BCA＝65°，则∠P＝__50°___．
,第12题图)　　　,第13题图)
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是__4___．
14．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BOC＝140°，求∠BIC的度数．

解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝140°，∴∠A＝70°.又∵点I为△ABC的内心，∴∠BIC＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝125°

15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1＝20°，求∠APB的度数；
(2)当∠1为多少度时，OP＝OD？并说明理由．

解：(1)∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°－∠1＝70°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝70°，∴∠APB＝180°－70°×2＝40°　(2)当∠1＝30°时，OP＝OD.理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠APB＝30°.又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB＝∠D，∴OP＝OD

16．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.
(1)求证：OD∥BE；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．

解：(1)连接OE，∵AM，DE是⊙O的切线，OA，OE是⊙O的半径，∴∠ADO＝∠EDO，∠DAO＝∠DEO＝90°，∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE.∵∠ABE＝∠OEB，∠ABE＋∠OEB＝∠AOE，∴∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE
(2)OF＝CD，理由：连接OC，∵BC，CE是⊙O的切线，∴∠OCB＝∠OCE.同理：∠ADO＝∠EDO.∵AM∥BN，∴∠ADO＋∠EDO＋∠OCB＋∠OCE＝180°，∴∠EDO＋∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°.在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF＝CD

专题训练(七)　切线证明的方法

一、有交点，连半径，证垂直
(一)利用角度转换证垂直
1．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED.求证：AD是⊙O的切线．

解：连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEA＝∠BEO，∠B＋∠BEO＝90°，∴∠DAE＋∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O 的切线

2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：PA是⊙O的切线．

解：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACP＝∠AOP＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠PAO＝90°，∴OA⊥AP，∴PA是⊙O的切线

(二)利用全等证垂直
3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线．

解：连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO，得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线

(三)利用勾股定理逆定理证垂直
4．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．

解：连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△POC为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线

二、无交点，作垂直，证半径
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证：AC与⊙D相切．

解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证△BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O相切

6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．

解：连接OE，过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切

7．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.

解：(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∴CD是⊙O的切线　(2)过D点作DF⊥BC于点F，易证四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.又∵AM，BN，CD分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6

三、与切线证明方法有关的综合问题
8．(2014·江西)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.
(1)求△OPC的最大面积；
(2)求∠OCP的最大度数；
(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB 时，求证：CP是⊙O的切线．

解：(1)△OPC的边长OC是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大．∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，∴S△OPC＝·OC·OP＝×4×2＝4，即△OPC的最大面积为4　(2)当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大，可求∠OCP＝30°
(3)连接AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线