含参量积分的分析性质及其应用.doc
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1、含参量积分的分析性质及其应用班级:11数学与应用数学一班 成绩: 日期: 2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数在矩形区域上连续,则函数=在a,b上连续.例1 设(这个函数在x=y时不连续),试证由含量积分所确定的函数在 上连续.解 因为,所以当y0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,xy则 1, y1时, f(x,y)=-1,则,即F(x)= 1-2y,0y1又因F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在上连续.例2 求下列极限:(1); (2).解 (1)因为二元函数在矩形域
2、R=-1,1-1.1上连续,则由连续性定理得在-1,1上连续.则. (2)因为二元函数在矩形域 上连续,由连续性定理得,函数在上连续.则例3 研究函数的连续性,其中f(x)在闭区间0,1上是正的连续函数.解 对任意,取,使,于是被积函数在上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F(y)在区间上连续,由的任意性知,F(y)在上连续.又因,则F(y)在上连续.当y=0处.由于为0,1上的正值连续函数,则存在最小值m0.,从而,但F(y)在y=0处不连续,所以F(y)在上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G=(x,y)|上连续,其中c(x),d(x)为a,b上的连续函数,
3、则函数 F(x,y)= 在a,b上连续. 例4 求.解 记.由于都是和x的连续函数,由定理2知在处连续,所以.例5 证明函数在上连续.证明 对,令x-y=t,可推得.对于含多量正常积分,由连续性定理可得在上连续,则在上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数与其偏导数都在矩形区域R=a,b*c,d上连续,则=在a,b上可微,且.定理4 设,在R=a,b*p,q上连续,c,d为定义在a,b上其值含于p,q內的可微函数,则函数F=在a,b上可微,且定理5 若函数及都在a,b;c,d上连续,同时在c,d上及皆存在,并且aa(y)b,ab(y)b (cyd),则.证明 考虑函数F(y)在c,d
4、上任何一点处得导数,由于.现在分别考虑在点处得导数.由定理5可得.由于,所以.应用积分中值定理.这里在和之间.再注意到的连续性及b(y)的可微性,于是得到.同样可以证明于是定理得证.例6 设求.解 应用定理5有 .例7 设在的某个邻域U上连续,验证当时,函数 (1)的n阶导数存在,且解 由于(1)中被积函数及其偏导数在U上连续,于是由定理4可得 同理 如此继续下去,求得k阶导数为特别当时有于是例8 计算积分.解 考虑含参量积分显然且函数在R=0,10,1上满足定理3的条件,于是.因为所以 因此 .另一方面所以 1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f在矩形区域R=上连续,则和分别在和上可积.其
5、中=dy,x,=dy.这就是说:在f连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分:与,简便记为与,前者表示f先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f在矩形区域R=上连续,则=.定理7 若f在矩形区域R=上连续,g在上可积,则作为的函数在上连续,且=.注意 推论中闭区间可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I= (ba0).解 由得I=,因为在矩形区域上连续,由定理可得I=ln.例10 试求累次积分与,并指出它们为什么与定理
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