求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案).doc

数列的通项公式与求和

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

练习6

练习7

练习8 等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则

练习9 求和：5，55，555，5555，…，，…；

练习10 求和：

练习11 求和：

练习12 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

答案

练习1答案：

练习2 证明：
(1)
注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n)

代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2

又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列

(2)
由(1)知，
{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)

又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n

练习3 答案：
1)
a1=S1=1/3(a1-1)
a1=-1/2

a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2
3a2=a2-1+3/2
2a2=1/2
a2=1/4

2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1
相减：
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/2
所以{an}为等比数列！

练习4 累加法，答案：

练习5 累乘法，答案：

练习6 待定系数法，答案：

练习7 倒数法，答案：

练习8 公式法，答案：
练习9 答案：

．
练习10 ，列项相消法，答案

练习11，,列项相消法
1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]
所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)]
=1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)]
=1+2*[1/2-1/(n+1)]
=2-2/(n+1)

练习12 （错位相减法）
答案：解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，②
②－①得，
．