常系数线性微分方程组.pptx

常系数线性方程组5.3 常系数线性方程组常系数线性方程组一阶常系数线性微分方程组:本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.常系数线性方程组一、矩阵指数一、矩阵指数expA的定义和求法的定义和求法1 1 expAexpAexpAexpA的定义的定义的定义的定义定义定义注注1:矩阵级数(5.34)是收敛的.由于而数项级数收敛.常系数线性方程组注注2:级数在t的任何有限区间上是一致收敛的.由于而数项级数收敛.常系数线性方程组2 2 矩阵指数的性质矩阵指数的性质矩阵指数的性质矩阵指数的性质由于由于:绝对收敛级数的乘法定理由于由于:常系数线性方程组由于由于:常系数线性方程组3 3 3 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵常系数齐线性微分方程组的基解矩阵常系数齐线性微分方程组的基解矩阵常系数齐线性微分方程组的基解矩阵(1)定理定理9矩阵是(5.33)的基解矩阵,且证明证明:又因为常系数线性方程组例例1如果A是一个对角矩阵解解由(5.34)得常系数线性方程组例例2解解因为而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组故常系数线性方程组(2)(2)基解矩阵的一种求法基解矩阵的一种求法基解矩阵的一种求法基解矩阵的一种求法则其中注注1:常系数线性方程组二 基解矩阵的计算公式基解矩阵的计算公式类似第四章4.2.2,寻求形如将(5.43)代入(5.33)得1 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系常系数线性方程组方程(5.44)有非零解的充要条件是:结论结论即例例3解解的根,常系数线性方程组解得解得常系数线性方程组常系数线性方程组例例4解解特征方程为为求其对应的特征向量考虑方程组解得常系数线性方程组2 基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法-常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理定理10是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.常系数线性方程组证明证明:由上面讨论知,每一个向量函数都是(5.33)的解,因此矩阵是(5.33)的解矩阵,所以常系数线性方程组例例5解解由例3知由定理10,矩阵就是一个基解矩阵.常系数线性方程组注注:但由于有从而例6 试求例5的实基解矩阵.解解由于基解矩阵为故实基解矩阵为常系数线性方程组求例5满足初始条件的解常系数线性方程组解解由于基解矩阵为故该方程的通解为从而由初始条件有故常系数线性方程组例7 求方程组的通解.解解因此特征根为它们相的特征向量为常系数线性方程组故基解矩阵为故通解为常系数线性方程组(2)矩阵A的特征根有重根时分量是无穷级数难!分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合常系数线性方程组的解产生的,由于由(5.49)有常系数线性方程组由(5.51)有常系数线性方程组注注1:故注注2:其中常系数线性方程组例8 试解初值问题解解从例4知,常系数线性方程组利用公式(5.53)即得或者分别令常系数线性方程组例9 如果解解直接计算可得因此由公式(5.53)可得常系数线性方程组常系数线性方程组例10 求方程组满足初始条件解解这里系数矩阵常系数线性方程组特征根为由(5.48)我们需要考虑下面方程和首先讨论这个方程组的解为常系数线性方程组其次这个方程组的解为常系数线性方程组解之得常系数线性方程组 代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得常系数线性方程组(3)非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组由于(5.60)对应齐次方程组的基解矩阵为故由常数变易公式,常系数线性方程组例10 设的解.解解由例6知故初值问题的解为常系数线性方程组常系数线性方程组三三 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用(1)定义定义其拉普拉斯变换为常系数线性微分方程组:1用拉普拉斯变换解微分方程组常系数线性方程组(2)定理12常系数线性方程组(3)推论常系数线性方程组例11 利用拉普拉斯变换求解例10.解解将方程写成分量形式,即常系数线性方程组由此解得故即常系数线性方程组例12 试求方程组满足初始条件解解对方程组取拉普拉斯变换得常系数线性方程组即解得故常系数线性方程组例12 试求方程组满足初始条件解解常系数线性方程组整理后得解得再取反变换得常系数线性方程组2 用拉普拉斯变换求基解矩阵对常系数齐线性微分方程组常系数线性方程组例12 试构造方程组的一个基解矩阵,其中解解即也即常系数线性方程组由克莱姆法则,有常系数线性方程组从而常系数线性方程组故基解矩阵且常系数线性方程组作业作业P236 2,4(b),5(a)P236 5(c),6(a),7,P237 8,10(a),11