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初中几何最值问题

例题精讲

一、 三点共线
1、构造三角形
【例1】 在锐角中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．如图，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

备用图

【例2】 如图，°，矩形ABCD的顶点A．B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________

【巩固】已知：中，，中，,.连接、，点、、分别为、、的中点.若、、三点在同一直线上，且，固定，将绕点旋转，则的最大值为____________

【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点为线段的中点．点、分别在轴、轴的负半轴上，且．以为边在第三象限内作正方形，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．
图2

【例3】 如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是_________
y
x
O
A
B
P

2、轴对称
【例1】 求的最小值

【例2】 是半径为5的的两条弦，，，为直径，于点,于点，为上任意一点，则的最小值为_________

【巩固】设半径为1的半圆的圆心为，直径为,是半圆上两点，若弧的度数为96°，弧的度数为36°，动点在直径上，则的最小值是_______

【巩固】设正三角形 的边长是2，是边上的中点，是边上任意一点，则的最大值为_______,最小值为________

【例3】 如图，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为.若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则的取值范围是 .

【例4】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x2＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．

图1
【例5】 如图，直线分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．
（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求的面积；
（2）求△BCD周长的最小值；
（3）当△BCD的周长取得最小值，且时，求的面积．
A
x
y
1
O
D
2
1
2
M
N
B
3
4
C
A
x
y
1
O
2
1
2
3
4
C
备用图
A
x
y
1
O
2
1
2
3
4
C
备用图

【例6】 在直角坐标系中，，，，为四边形的4个顶点，当四边形的周长最短时，_________

【巩固】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。
图13
A
B
x
y
O
D
C
图2
A
B
x
y
O
D
C
P
Q
E
F

A
B
x
y
O
D
C

【例7】 已知，如图1，二次函数的图像的顶点为，与轴交于两点（在的右侧），点关于直线：对称．
（1）求两点的坐标，并证明点在直线上；
（2）求二次函数的解析式；
（3）过点作交直线于点，分别为直线和直线上的两个动点，连结求的最小值．

【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.
(1) 求此二次函数解析式；
(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.

【例8】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、
轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.
温馨提示：如图，可以作点D关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点E，此时△ 的周长是最小的.这样，你只需求出 的长，就可以确定点 的坐标了.

（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；

y
B
O
D
C
A
x
E

y
B
O
D
C
A
x

（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.

【巩固】已知点A（3，4），点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

【例9】 已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0).
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。

【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围.

3、旋转
【例1】 如图，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为三角形内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

【巩固】已知矩形，，，在矩形内有一点，在边上有一点,分别确定点和的位置，使得最小

【巩固】直角梯形中，，在梯形内求作一点使于且的值最小

二、 垂线段最短
【例1】 已知,是线段上任意一点，在的同侧分别以和为边作两个等边三角形和，则线段长度的最小值是_______

A
B
C
D
N
M

【例2】 如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是___________ ．

【巩固】矩形中，，.在、上各取一点、，使的值最小，求这个最小值

【例3】 如图，在中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点且与边相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是________

【例4】 已知在的边上取一点，设和的外接圆的圆心分别是和，求：使两圆半径为最小值时点的位置

【巩固】点在的边上，分别作和的外接圆。问当点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小？

【例5】 在已知内，作内接矩形，使一边在最大边上，另外两个顶点、分别在边，上。试确定矩形的位置，使对角线长最短.

【巩固】点在锐角的边上运动，试确定点的位置，使最小，并证明你的结论.

【例6】 如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若的长分别是方程的两根，且
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点作交抛物线于点，求点的坐标；
yc
Cc
l
xc
Bc
Pc
Dc
A
O

（3）在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为，试求的最大值．

【例7】 在直角坐标系中，点A坐标为（-3，-2），圆A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________

【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰三角形（为底边），顶点的坐标是，
点在轴上，点的坐标是，轴于点，点是的中点，点是直线上的一动点
（1）求点的坐标
（2）以点为圆心、为半径作圆，得到动圆，过点作的两条切线，切点分布为，问：是否存在以为顶点的四边形的最小面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

三、 与圆相关的最值
1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦
【例1】 如图，⊙的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为________

2、设是⊙O内一点，在连接与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设是⊙O外一点，在连接与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短

【例1】 在直线MN的同侧有定点A及定圆圆，试在MN上求一点P，在圆上求一点Q，使最短

【例2】 点在图形上，点在图形上，记为线段长度的最大值，为线段长度的最小值，图形的平均距离．
（1）在平面直角坐标系中，是以为圆心，2为半径的圆，且，，求及；（直接写出答案即可）．
（2）半径为1的的圆心与坐标原点重合，直线与轴交于点，与轴交于点，记线段为图形，求．
（3）在（2）的条件下，如果的圆心从原点沿轴向右移动，的半径不变，且，求圆心的横坐标．

3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点
【例1】 已知：是中一条长为4的弦，是上一动点，．问是否存在以为顶点的面积最大的三角形,试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．

4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点
【例1】 如图，AB是半圆的直径，线段CA⊥AB于点A，线段DB上AB⊥点B，AB=2，AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是______

5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角
【例1】 B为的边上的两点，试在上求作一点，使最大

P

·
O
A
C
D
B
【例2】 如图所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为_____

四 、转化类
【例1】 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为________，最小值为________．

【巩固】在中，，，若的内切圆半径为，则的最大值为__________

【例2】 已知抛物线经过、两点，当和时，这条抛物线上对应的纵坐标相等．经过点的直线与轴平行，为坐标原点．
（1）求直线和这条抛物线的解析式；
（2）以为圆心，为半径的圆记为圆,判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（3）设直线上的点的横坐标为,是抛物线上的动点，当的周长最小时，求四边形的面积．

【例3】 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，且A（4，0），B（4，4），点P在⊙O上运动。
（1）求2BP+AP的最小值。
（2）若点M是函数（x>0,x≠2）的图象上一点，ME⊥x轴于点E，MF⊥y轴于点F，记M的横坐标为t（t>0,t≠2）,请用含t的表达式表示的最小值。

【巩固】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为_______________ .

【例4】 已知抛物线经过点和点．
（1）求此抛物线解析式；
（2）过点作轴的垂线，垂足为点．点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短．（要求：简述确定点位置的方法，但不要求证明）

【巩固】在平面直角坐标系xOy中，设G为y轴上一点，点P从点)出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到A(－6，0)点．若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)

【例5】 射线垂直平分,垂足为，,点、为射线上两动点，且，求的最小值