二次函数与几何综合压轴题题型归纳-学生版.doc

二次函数综合压轴题型归类
教学目标：1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系
2、掌握特殊图形面积的各种求法
重点、难点：1、利用图形的性质找点
2、分解图形求面积

一、二次函数和特殊多边形形状
二、二次函数和特殊多边形面积
三、函数动点引起的最值问题
四、常考点汇总
1、两点间的距离公式：
2、中点坐标：线段的中点的坐标为：
直线（）与（）的位置关系：
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：
① 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；
② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于的一元二次方程有两个整数根，且为整数，求的值。

4、二次函数与轴的交点为整数点问题。（方法同上）
例：若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于的方程（为实数），求证：无论为何值，方程总有一个固定的根。
解：当时，；
当时，，，、；
综上所述：无论为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线（是常数），求证：不论为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于的方程；
∴ ，解得：；
∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求等价于：关于的方程不论为何值，方程恒成立）
小结：关于的方程有无数解

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线、，点在上，分别在、上确定两点、，使得之和最小。

（2）如图，直线、相交，两个固定点、，分别在、上确定两点、，使得之和最小。

（3）如图，是直线同旁的两个定点，线段，在直线上确定两点、（在的左侧 ），使得四边形的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法：如右图，S△PAB=1/2 ·PM·△x=1/2 ·AN·△y
9、函数的交点问题：二次函数（）与一次函数（）
（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。
（2）解方程组，即，通过可判断两个图象的交点的个数
有两个交点
仅有一个交点
没有交点

10、方程法
（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的图形
平移
、
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

直角三角形
直角梯形
矩形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。

等腰三角形
全等
等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

O
x
y
A
B
C
D

【例题精讲】

一 基础构图：
y=（以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标
在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

O
x
y
A
B
C
D

★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P，使得面积最大，求出P坐标

O
x
y
A
B
C
D

★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，
求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

O
x
y
A
B
C
D
★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，
求出P坐标

★ 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，
且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

二 综合题型
例1 (中考变式）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

例2 考点： 关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
y
x
B
A
F
P
x＝1
C
O
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

例3 考点：讨论等腰
如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
B
C
O
A
备用图
y
x
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
D
B
C
O
A
y
x
E

例4考点：讨论直角三角
⑴ 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上
确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）．
(A）2个 （B）4个 （C） 6个（D）7个
⑵ 已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x 2＋bx＋c图象与一次函数y＝x＋1图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
O
A
B
y
C
x
D
E
2
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

例5 考点：讨论四边形
已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax 2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
B
A
y
O
C
x
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐 标和此时△的面积。

2、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为。
（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 ：2的两部分，求出此时点的坐标；
（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为，且对称轴与轴交于点。
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）为中点，直线交轴于，若（0，2），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，且使得的周长最小，在抛物线上，在直线上，若以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。

4、已知关于的方程。
（1） 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2） 若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。

5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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