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多角度计算一个三棱锥的体积甘肃省张掖市体育运动学校张青凤摘要:以一道立体几何试题为例,分别从向量法、割补法、等价转化以及质点几何学等视角研究三棱锥的体积通过一题多解建立知识间的联系,开拓学生的视野,提升学生的数学素养关键词:向量法;割补法;质点几何体积问题是立体几何中的一个常考问题,如何解决此类问题呢?首先,识别所要计算的立体图形;其次,分析图形的结构特征常见的解决方法包括:公式法、割补法、向量法对于较为复杂的图形,还可以利用等价转化法、质点几何法、祖暅原理法求解下面通过一道立体几何模拟题来展示计算体积的各种方法题目及分析图(届 广 东 省 月 份 联考第 题改编)如图,已知正方体A B C D ABCD的 棱 长 为,M,N分 别 是AD,C C的 中点,P,Q分别是 线 段A B,CD上的 点,且A PP B,CQQ D,求 三 棱 锥Q PMN的体积分析:本题所需求体积的几何体为一个三棱锥,如果直接选择公式求解,其难度主要集中在“高”的运算上对于高的运算,可利用几何法即通过空间中线面间的位置关系构造出“高”再进行计算;或利用向量进行计算解题探析方法:通过计算三棱锥的高来计算体积因为在本题中利用几何法计算三棱锥的高需要构造较多的辅助线,且证明过程较为冗长本文中不运用该方法求解仅介绍如何利用向量法求解利用向量法求解三棱锥的高,即将“高”的运算转化为点到平面的距离问题已知点P,A以及平面,设点P,A,m为平面的一个法向量,则点P到平面的距离dP Amm如图,以D为原点,以直线D A为x轴,D C为y轴,DD为z轴建立空间直角坐标系图利用 法 向 量 的 运 算 法则,可得平面PMN的一个法向量为m(,),MQ(,)利用公式即可得点Q到平面PMN的距离为dQMmm 另外,通过计算PMN的各边长再通过正、余弦定理或海伦公式可求得其面积S,从而可得三棱锥Q PMN的体积VQ PMNS d图方法的 思 维 过 程 较 为 简单,但运算过程较为复杂,特别是PMN面积的运算现再介绍一种较为简便的运算方法如图,过点C作MP的垂线,垂足为T,连接NT根据三垂线定理可 得NTMP,即 可 知NT为PMN的高易知C T,所以NT,从而可得SPMN 在求解的过程中,首先要善于观察图形中直线与平面的位置关系,选择恰当的角度有效地减少运算量其次,对于点到平面的距离可类比点到直线的距离的公式进行计算其求解思路如下:在空间直角坐标系中,求解出平面PMN的方程:xy z所以,点Q,到 平 面PMN的 距 离 为d()年 月上半月 试题研究命题考试方法:割补法求解图如图,延长QN,D C相 交 于 点T,连 接MT,P T考 虑 三 个 三 棱 锥Q MP T,Q MPN,N MP T根 据 体 积 的 可 加 性 知VQ MPNVQ MP TVN MP T据此可将原三棱锥的体积转化为两个易求体积的三棱锥的体积之差,再注意到三棱锥Q MP T,N MP T的底相同,结合其高之间的关系,可得VN MP TVQ MP T,从而可得VQ MPNVQ MP T由此可将原问题转化为计算三棱锥Q MP T的体积,其 中MP T的 面 积 为,再 由 点Q到 平 面A B C D的 距 离 为根 据 三 棱 锥 的 体 积 公 式 即 可 得VQ MP T,从而可得VQ MPN方法中除了运用割补法外,还体现了等价转化的思想接下来将介绍等价转化法的一般策略方法:等价转化法根据三棱锥的体积公式,可知等底等高的三棱锥体积均相同为此,可以从构造高的视角进行转化如图,设 点E为BC的 中 点,易 得Q EMP,从而Q E平面PMN,因此VQMPNVEMPN图图如图,延 长MP与C B并 交 于 点F,易 知SPMNSM F N,即 可 得VE MP NVE MN FVM E N F类似上述方法的过程即可求得VQ MP N通过上述解析可知,割补法与等价转化法常常混合使用方法:质点几何法质点几何法的本质是给立体图形中的各点按线段间的比例赋予一定的质量,再利用质点间的运算法则计算所形成图形的面积或体积因为M,N分别是AD,C C的中点,所以可设MAD,NCC 又因为A PP B,CQQ D,所以可设PAB,QCD 由上述中四个方程质点间的运算,可得 Q M P N(AD)(CC)(A B)(C D),其中Q M P N表示三棱锥QM P N的体积,对于式右侧展开式中出现相同点或四点共面的情形时,其对应的体积即为 据此可知,上式右侧展开后剩余的项为A B C C A B C DAD C C AD C DB D C CB D C DAD CDB D CD以上式各项所表示的三棱锥的体积均相等,其值为V正方体A C综上分析,可得VQMPN解后反思与教学建议上述的解答过程体现了研究立体几何中体积问题的各种视角除了上述方法外,还可利用向量的混合积以及祖暅原理进行求解为了突破这一难点,笔者认为可以从以下几个方面入手教师要带领学生识图,分析图形的结构特征,根据图形的特点选择恰当的公式进行运算现阶段因为信息技术在教学中的应用,所有的立体图形都可用G e o G e b r a等数学软件进行绘制学生可从视觉上直观感受图形的变化以及形成过程一方面要在教学中灵活地运用相关软件,提升教学效率;另一方面,也要培养学生基本的绘图原理,在绘制的过程中感受各种几何量的形成过程以及依存关系在体积的运算过程中,还常常涉及面积等平面几何的知识在该板块的教学中,要带领学生复习解三角形及平面几何中的有关知识以及运算技巧例如,在上文中利用割补法计算MP T的面积时,可将其理解为四边形A O T D中的图形,结合平面图形的性质即可快速求解最后,在教学中要带领学生开拓视野如上文中的质点几何求解法,其本质是构建了一套新的运算法则与规律在教学中,可通过平面图形中的面积运算类比至立体几何中的体积运算参考文献:龙宇利用质点系的“重心”求解线段间的比例J中学数学研究(华南师范大学版),():龙宇从四个角度研究立体几何中的一类体积问题J高中数理化,():,Z命题考试试题研究 年 月上半月