多次碰撞模型中速度的等比迭代问题研究——对2022年深圳二模物理压轴题的思考.pdf

多次碰撞模型中速度的等比迭代问题研究 对2 0 2 2年深圳二模物理压轴题的思考刘界东(广东省深圳市高级中学文博高中 5 1 8 0 0 0)黄霞(广东省深圳市龙岗区实验学校 5 1 8 1 0 0)【摘要】2 0 2 2年深圳二模物理压轴题以冬奥会冰壶运动为背景,设计了一个多次碰撞的物理模型.试题通过两物体加速度的比值k和恢复系数e的设置,实现了碰后速度的等比迭代.本文通过假设论证,找到碰后速度发生等比迭代的一般性条件,探究k与e的关系,发现临界状态时公比q与参数e相等的结论,并给出了方便计算的参数配置表.【关键词】高中物理;碰撞模型;等比迭代因篇幅限制,将原题作如下简化:在水平面上,A物体以初速度v1与静止的B物体发生一维碰撞(碰撞时间极短),A,B可视为质点,质量均为m,已知A,B物体与地面间的动摩擦因数之比为k,每次A,B碰撞前后速度均满足比值vB后-vA后vA前-vB前=e,在本题中k=13,e=15.试通过计算说明每次碰后B物体速度能发生等比迭代.显然,本题是利用k和e两个参量的特殊设定,实现了B物体碰后速度发生等比迭代的有趣现象.一维碰撞可以简单分为动碰动和动碰静两种类型,笔者发现本题k值的作用就是控制碰撞类型,而e值的作用是控制A,B碰后速度的分配比例.因为第一次碰撞是动碰静类型,所以笔者大胆猜测,只要选择合适的k值,以保证后续碰撞始终是动碰静类型,则每次碰后B物体速度能发生等比迭代.论证过程如下:1 碰后速度发生等比迭代的条件假设每次A,B碰撞时,B已经停止运动,且vB后-vA后vA前-vB前=e,则第一次碰撞时,令第一次碰撞前A的速度为v1,根据动量守恒定律有:m v1=m vA1+m vB1,根据已知条件有:vB1-vA1v1=e,联立方程,解方程得:vA1=1-e2v1、vB1=1+e2v1.令第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为t,第二次碰撞前A的速度为v2,A,B的加速度分别为a1,a2,则根据运动学规律有:v2=vA1-a1t,vA1+v22t=v2B12a2,根据题意可知a1a2=k,联立方程,解方程得:v2=12(1-e)2-k(1+e)2v1,第二次碰撞时,与第一次碰撞同理,有:vA2=1-e2v2、vB2=1+e2v2,联立方程,可得:vB2=12(1-e)2-k(1+e)2vB1,归纳可知:vB n=12(1-e)2-k(1+e)2vB n-1.总结上述内容,可以发现碰后速度发生等比迭代的条件有两个:每次碰撞都是以动碰静;vB后-vA后vA前为定值.912 0 2 3年1 1月下解题方法 数理天地 高中版公比q=12(1-e)2-k(1+e)2.题目中e=15,k=13带入数据有q=15,与参考答案一致.2 每次碰撞都是以动碰静的条件如何保证每次碰撞都是以动碰静?关键看k值的设定.k值代表A,B碰撞后在水平面上做匀减速直线运动的加速度的比值.k值太小,会出现A,B碰撞时,B还未停止运动;k值过大,A,B不能再次碰撞.临界状态1:当A,B第二次碰撞时,B恰好停止运动,则:0=vB1-a2t,vA1t-12a1t2=v2B12a2,联立以上两个方程得:a1a2=2vA1vB1-1,即:k=21-e1+e-1.临界状态2:当A,B恰不发生第二次碰撞时,则:v2A12a1=v2B12a2,得:a1a2=v2A1v2B1,即:k=(1-e)2(1+e)2.由此可知,当21-e1+e-1k(1-e)2(1+e)2(e1)时,A,B能够发生多次碰撞,且碰撞均为以动碰静类型.题目中e=15,代入数据有13k49.题目设置k=13,则A,B再次碰撞时,B恰好停止运动,与参考答案一致;若题目设置k=49,则A,B恰好不能发生二次碰撞.3 结语本题中,需设置e1且21-e1+e-1k(1-e)2(1+e)2,以保证A,B碰撞时,B处于静止状态,使得 碰 后 速 度 能 够 发 生 等 比 迭 代,公 比q=12(1-e2)-(k1+e2).原题设置A,B碰撞时,B恰好停止运动,则k值必须满足k=21-e1+e-1带入q的表达式发现,此种情况下公比q=e.方便计算的e,k,q的配置如表1所示.表1序号ekq113013215131531712174193519 显然,原题选择了序号2的配置方案.02 数理天地 高中版解题方法2 0 2 3年1 1月下