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三角函数总结及统练

一. 教学内容：
三角函数总结及统练

（一）基础知识
1. 与角终边相同的角的集合
2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=

5. 同角三角函数的关系
平方关系：商数关系：
倒数关系：
口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦

余弦

正切

余切

7. 两角和与差的三角函数

8. 二倍角公式——代换：令

降幂公式
半角公式：；；

9. 三角函数的图象和性质

函数

图象

定义域
R
R

值域
最值

时
时

时
时
R
无最大值
无最小值

周期性
周期为
周期为
周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上都是增函数；在
上都是减函数（）
在上都是增函数，在上都是减函数（）
在内都是增函数（）
10. 函数的图象变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）

（2）

（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：－
角的倍角与半角的相对性
如：
5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】
1. 如：（化成一个角的一个三角函数）

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
（2）
解：
（1），，

（2），，
，
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简

；
[例2] 化简 。
答案：
3. 化异为同
[例3] 已知，求：
（1） （2）
答案：（1）3；（2）

[例4] 已知，求：
答案：
4. 与间的相互转化
（1）若，则；；=

（2）若，则；
（3）
[例5] 化简： 。
答案：

[例6] 若在第二象限，，求。
答案：
5. 互为余角的三角函数相互转化
若，则；
[例7] 已知，则 。
答案：

[例8] 求值： 。
答案：

[例9] 求值： 。
答案：
6. 公式的变形及活用
（1）
（2）若
[例10] 计算 。
答案：

[例11] 。
答案：

7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例12] 若，则 。
答案：7

[例13] 若，则 。
答案：

[例14] 在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。
答案：
8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例15] 已知，求。
答案：

[例16] 若是第二象限角且，求的值。
解法一：利用公式然后限定角的范围。
解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。
解法三：利用，可回避限定角的范围。
答案：
9. 在三角形中的有关问题
；；
结论：；
；
[例17] 已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C

[例18] 在锐角三角形ABC中，求证：
证明：由则
故 同理
三式相加，得证。
10. 形如的化简
[例19] 求值：（1） （2）
答案：（1）（2）
11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20] 求下列函数的定义域。
（1）
（2）
答案：
（1）
（2）

[例21] 求下列函数的值域。
（1）
（2）若是锐角，则的值域。
答案：（1） （2）
12. 可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数）
[例22] 已知函数，求“一套”。
答案：，定义域：R；值域：，，；
对称轴 增区间：
减区间：
13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系
题型二：由函数图像求其解析式
[例23] 已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：

14. 可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数）
[例24] 求函数的值域
解：

[例25] 已知，若记其最大值为，求的解析式。
解：，当时，
当时，
当时，
15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数对定义域中每一个都有，其中，则的周期 。
解：T

[例27] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：4

[例28] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：8

[例29] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：6

[例30] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ，求其周期。
解：6
16. 函数与方程的思想
[例31] 方程的解的个数 。
解：63
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

2. 已知，求：
3. 设，则 。
4. 求的最大值和最小值。
5. 求值：。
6. 若；，求
7. 已知、且，，求的值。
8. 为何值时方程有解？
9. 方程，有两解时求的值。
10. 求值：
（1）
（2）
11. 求下列函数的定义域。

12. 已知函数，当时，求函数的最大值和最小值及何时取到？

【试题答案】
1. ，，
，
2. 3.
4. 令，，，，
5. 6.
7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
又由得，得
则故
8.
9.
10.（1） （2）
11. （）
12. 当时，；时，