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小学数学比和比例问题知识汇总.doc
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1、小学数学知识总结之比和比例应用题【求比的问题】例1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是23,第二个容器中盐与水的比是34,把这两个容器中的盐水混合起来,则混合溶液中盐与水的比是_。(无锡市小学数学竞赛试题)则混合溶液中,盐与水的比是:某电子产品去年按定价的80出售,能获利20,由于今年买入价降(1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题)即: 【比例问题】例1 甲、乙两包糖的重量比是41,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比变为75 那么两包糖重量的总和是_克。(1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题)例2 甲容器中有纯酒精11升,乙容器中有水15升,第一次将甲容器
2、中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5,乙容器中纯酒精含量为25,那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升。(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)讲析:因为现在乙容器中纯酒精含量为25,所以,乙容器中酒精与水的比为25(1-25)=13第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器,才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是515=13又甲容器中纯酒精含量为62.5,则甲容器中酒精与水的比为62.5(1-62.5)=53第二次倒后,要使甲容器中纯酒精与水的比为53,不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份,水作3份。
3、那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6(升)6升算作4份,这样可恰好配成53。而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为13=4(份),所以也应是6升。一.比的意义和性质(1)比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 “:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。 同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。比的后项不能是零。根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值(2)比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数
4、(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。(3)求比值和化简比 求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。 (4)比例尺 图上距离:实际距离=比例尺 要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。 (5)按比例分配 在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法:首先求出各部分占总量的几分之
5、几,然后求出总数的几分之几是多少。 2比例的意义和性质 (1)比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数,叫做比例的项。 两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。 (2)比例的性质 在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 (3)解比例 根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。 3正比例和反比例 (1)成正比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。 用字母
6、表示y/x=k(一定) (2)成反比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示xy=k(一定) 二 正反比例问题【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应
7、用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。例1 修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?例2 张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?关键:做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系例3 孙亮看十万个为什么这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?三 按比例分配问题
8、【含义】 所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植
9、树多少棵?例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米?例3 从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?四 列方程 例1 甲乙两班共90人,甲班比乙班人数的2倍少30人,求两班各有多少人?例2 仓库里有化肥940袋,两辆汽车4次可以运完,已知甲汽车每次运125袋,乙汽车每次运多少袋?智趣题学校买了4张办公桌和1把椅子,共用去510元
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