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中考二次函数-动点专题内含答案
模式1：平行四边形
分类标准：讨论对角线
例如：请在抛物线上找一点p使得四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况
（1）当边是对角线时，那么有
（2）当边是对角线时，那么有
（3）当边是对角线时，那么有
例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

练习：图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

模式2：梯形
分类标准：讨论上下底
例如：请在抛物线上找一点p使得四点构成梯形，则可分成以下几种情况
（1）当边是底时，那么有
（2）当边是底时，那么有
（3）当边是底时，那么有
例题2：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

模式3：直角三角形
分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置
例如：请在抛物线上找一点p使得三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况
（1）当为直角时，
（2）当为直角时，
（3）当为直角时，
例题3：如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

练习：如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

模式4：等腰三角形
分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置
例如：请在抛物线上找一点p使得三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况
（1）当为顶角时，
（2）当为顶角时，
（3）当为顶角时，
例题4：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．

练习：（2012江汉市中考模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．
A
B
C
O
P
Q
D
y
x
(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

模式5：相似三角形
突破口：寻找比例关系以及特殊角
例题5：（据荆州资料第58页第2题改编）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。
（1） 求过A、D、C三点的抛物线的解析式。
（2） 求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。
（3） E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长。
（4） 设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。

模拟题汇编之动点折叠问题
1.（2012深圳模拟）（本题12分）已知二次函数与轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连结PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C， 那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：将B、C两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,∴y=x-3…………1分
将B、C两点的坐标代入得：，解得：
所以二次函数的表达式为： .…………………3分
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形.设P点坐标为（x，），
PP交CO于E.若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO.…………………5分
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=
∴=.∴= .………………………………6分
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）.…………………………9分

3.（2012江西模拟）已知抛物线交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右侧）.过点A作垂直于y轴的直线l. 在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
A
B
M
P
C
D
N

4.（2012安庆模拟）在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD＝1，AB＝3，BC＝4，M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AM⊥MN、NP⊥BC．
(1)证明：△CNP为等腰直角三角形；
(2)设NP＝x，当△ABM≌△MPN时，求x的值；
(3)设四边形ABPN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．
解：（1）过D作DQ⊥BC于Q，则四边形ABQD为平行四边形 DQ=AB=3，BQ=AD=1
∴QC=DQ △DQC 中∠C=∠QDC=45°
∴Rt△NPC为等腰Rt△ ………………(4分)
（2）∵≌ MP=AB=3, BM=NP
∵△NPC为等腰Rt△
∴PC=NP= x ∴BM=BC－MP－PC=1－x ∴1- x= x ∴ x=
∴当≌时，x = ………………(8分)
（3） =(AB+NP) BP=(3+ x)(4－x)=－+ x+ 6=－( x-)+6.125(11分)
∴当x取时，四边形ABPN面积最大，最大面积为6.125. ………………(14分)
5.（2012宝应模拟）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.
⑴ 求tan∠FOB的值；
⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；
⑶是否存在点C, 使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

(1)作AH⊥x轴于H，交CF于P
∵A(2,2) ∴AH=OH=2 ∴∠AOB=45°
∴CD=OD=DE=EF= ∴ ……………………3分
(2)∵CF∥OB ∴△ACF∽△AOB
∴ 即
∴ ∴ ………………6分
(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°
∴只要或
即:或
① 当时, ,
∴ ∴(舍去)或 ∴B(6,0) ……………………8分
② 当时,
(Ⅰ) 当B在E的右侧时,,
∴ ∴(舍去)或 ∴B(3,0) …………………10分
(Ⅱ) 当B在E的左侧时,如图，,
∴ ∴(舍去)或 ∴B(1,0) ……………………12分
6.（2012广东预测）（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），
试求点、、的坐标；
(3)设点是轴上的任意一点，分别连结、．
试判断：与的大小关系，并说明理由.
D
A
O
x
y
C
B
．
(第24题图)
C
x
y
A
B
D
E
O
P
．

解：（1）（4分）设抛物线的解析式为………………………1分
∵抛物线经过，∴，解得： …………2分
∴（或） …………………………1分
（2）（4分）令得，∴……………………………………1分
令得，解得、………………………2分
∴、 …………………………………………………………1分
（3）（4分）结论： …………………………………1分
理由是：①当点重合时，有 ………………………………1分
②当，∵直线经过点、，∴直线的解析式为 ………3分
设直线与轴相交于点，令，得，
∴，
则关于轴对称
∴，连结，则，
∴，
∵在中，有
∴…………………………………1分
综上所得………………………………………………1分
7.．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0,7)两点．
(1)求该抛物线的解析式及对称轴；
(2)当x为何值时，y＞0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

解：解：(1)把A(－2，－1)，B(0,7)两点的坐标代入
y＝－x2＋bx＋c，得
，解得.
所以，该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7，
又因为y＝－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8，所以对称轴为直线x＝1.
(2)当函数值y＝0时，
－x2＋2x＋7＝0的解为x＝1±2 ，
结合图象，容易知道1－2 <x<1＋2 时，y>0.
(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，
则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.
因为C、D两点的纵坐标相等，
所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，
设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，
所以p＝2－m，所以CD＝(2－m)－m＝2－2m.
因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，
整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或5.
因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.
当m＝－1时，
n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.
于是，点C的坐标为(－1,4)．
8.如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；
⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)。

解：⑴∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。
当Q在AC上时，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，
∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ
∴4－x＝2×2x，∴x＝，
∴当x＝(Q在AC上)时，PQ⊥AC；
⑵ 当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，
∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝x
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2
∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－
⑶ 当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，
∴HC＝x，∴BP＝HC
∵BD＝CD，∴DP＝DH，
∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
⑷ 显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离
当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。
当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。
9.已知抛物线与轴交于A、B两点，且点A在轴的负半轴
上，点B在轴的正半轴上．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设OA、OB的长分别为a、b，且a∶b＝1∶5，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与轴的正半轴交于P点，过P点作⊙D的
切线交轴于E点，求点E的坐标。
解：（1）设点A（，0），B（，0）且满足＜0＜
由题意可知，即
（2）∵∶＝1∶5，设，即，则，即，
∴，即
∴，即，解得，（舍去）
∴ ∴抛物线的解析式为
（3）由（2）可知，当时，可得，
即A（－1，0），B（5，0） ∴AB＝6，则点D的坐标为（2，0）
当PE是⊙D的切线时，PE⊥PD
由Rt△DPO∽Rt△DEP可得
即 ∴，故点E的坐标为（，0）

10.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
x
y
C
B
_
D
_
A
O

解：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得：；故为所求 ……4分
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有， ，
故BD的解析式为；令则，故……8分
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
图3
易知BN=MN=1， 易求
；设，
依题意有：，即：
解之得：，，故 符合条件的P点有三个：
……12分

11.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，∴k=，
∴直线的解析式是：y=x+3， ……3分
②由已知得点P的坐标是（1，m），∴m=×1+3=； ……4分
（2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴=，即=，∴a=； ……6分
（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2a=（a+4）
∴a=
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB （24题图1）
∴==，即=，
∴b=2 ……8分
2）若∠P′AC=90°，P′A=CA （如图2）
则PP′=AC
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴==1，即=1
∴b=4 ……10分
3）若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．
∴所有满足条件的a，b的值为
或 ……12分

12.

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