中考数学压轴题专项汇编专题之19中点模型.doc

专题1 中点模型
破解策略
1．倍长中线
在△ABC中．M为BC边的中点．
e
图1 图2
（1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM．
（2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM≌△CEM，
遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法．
2．构造中位线
在△ABC中．D为AB边的中点，

图1 图2
（1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝BC．
（2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝BC．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝AE．
三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，
3．等腰三角形“三线合一”
如图，在△ABC中，若AB＝AC．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BAC．
事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥BC．
对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．

4. 直角三角形斜边中线
如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝AC．
反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝AC，则有∠ABC＝900

例题讲解
例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值

例2 如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长．

进阶训练
I．如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD ＝∠ACE＝90°，且点C在
AB上，连结DE，M为DE的中点，连结BM，CM，（1）求证：BM＝CM．
（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．

3．巳知：△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点．连结DF，CF．

（1）如图，当点D在AB上，点E在AC上时，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2．在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°．请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3．在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转角α，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，井证明你的判断．

5．巳知：P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（不与点A、C重合）．分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，O为AC的中点，如图1．将直线BP绕点B逆时针旋转，当∠OFE＝ 30°时，如图2所示，请你猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，并给予证明．

6.已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝4，CO＝2，接连接AD，BC、点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，求证：OH＝AD且OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论；
（3）请直接写出线段OH的取值范围．

如图1，四边形ABCO为正方形。
(1)若点A坐标为(0,)
①求点B的坐标；
②如图2，点D为y轴上一点，连接BD，若点A到BD的距离为l，求点C到BD的距离；
(2)如图3,连接正方形ABCO的对角线AC,OB交于点Q,点F为线段BC上一点,以OF为直角边向上构造等腰Rt△EOF,∠EOF=90∘，EF交AC于P.若PQ=1，求CF的长度。

专题2 K字形全等
1.在平面直角坐标系中,边长为3的正方形OABC的两顶点A. C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点。现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图).在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为___.

2.在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b）满足（a+1）2+=0

（1）直接写出：a=______，b=______；
（2）点B为x轴正半轴上一点，如图1，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；
（3）在（2）条件下，点M为直线BE上一动点，连OM，将线段OM逆时针旋转90°，如图2，点O的对应点为N，当点M的运动轨迹是一条直线l，请你求出这条直线l的解析式．

3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=−x+b分别与x轴、y轴交于点A. B,且点A的坐标为(8,0)，四边形ABCD是正方形。

(1)填空：b=___；
(2)求点D的坐标；
(3)点M是线段AB上的一个动点(点A. B除外)，试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B. M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标。

4.在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，如图①，以AB为斜边作等腰Rt△ABC.

（1）求直线OC的解析式；
（2）若OA≠OB，以OA、OB为边作矩形OADB，如图②，连接CD、OC，求证：CD⊥OC；
（3）若OA=OB，点F、E分别为四边形OACB的边OA、AC延长线上两点，且∠EBC=∠FBA，如图③，求的值.