全国版版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用函数模型及其应用理.ppt
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1、第九节函数模型及其应用1234【知知识识梳理梳理】1.1.几几类类常常见见的函数模型的函数模型函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(x)=ax+b(a,bf(x)=ax+b(a,b为为常数常数,a0),a0)反比例函数模反比例函数模型型f(x)=+b(k,bf(x)=+b(k,b为为常数且常数且k0)k0)二次函数模型二次函数模型f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为为常数常数,a0),a0)5函数模型函数模型函数解析式函数解析式指数函数模型指数函数模型f(x)=baf(x)=bax x+c(a,b,c+c(a,b,c为为常数
2、常数,b0,a0,b0,a0且且a1)a1)对对数函数模型数函数模型f(x)=blogf(x)=bloga ax+c(a,b,cx+c(a,b,c为为常数常数,b0,a0,b0,a0且且a1)a1)幂幂函数模型函数模型f(x)=axf(x)=axn n+b(a,b+b(a,b为为常数常数,a0),a0)62.2.三种函数模型的性三种函数模型的性质质函数函数性性质质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的增减上的增减性性单调单调_单调单调_单调递单调递增增增增长长速度速度越来越越来越_越来越越来
3、越_相相对对平平稳稳递递增增递递增增快快慢慢7函函数数性性质质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)图图象的象的变变化化随随x x的增的增大逐大逐渐渐表表现为现为与与_平行平行随随x x的增大逐的增大逐渐渐表表现为现为与与_平行平行随随n n值变值变化而各有化而各有不同不同值值的比的比较较存在一个存在一个x x0 0,当当xxxx0 0时时,有有logloga axxxxn na0)f(x)=x+(a0)”型函数模型型函数模型 形如形如f(x)=x+(a0)f(x)=x+(a0)的函数模型称的函数模型称为为“对对勾勾”
4、函函数模型数模型:(1):(1)该该函数在函数在(-,-(-,-和和 ,+),+)上上单调递单调递增增,在在-,0)-,0)和和(0,(0,上上单调递单调递减减.(2)(2)当当x0 x0时时,x=,x=时时取最小取最小值值2 ,2 ,当当x0 x0时时,x=-,x=-时时取最大取最大值值-2 .-2 .11【小小题题快快练练】链链接教材接教材练练一一练练1.(1.(必修必修1P1071P107习题习题3.2A3.2A组组T1T1改改编编)在某种新型材料的研在某种新型材料的研制中制中,实验实验人人员获员获得了下列一得了下列一组实验组实验数据数据.现现准准备备用下用下列四个函数中的一个近似地表示
5、列四个函数中的一个近似地表示这这些数据的些数据的规规律律,其中其中最接近的一个是最接近的一个是()12A.y=2A.y=2x x B.y=log B.y=log2 2x xC.y=(xC.y=(x2 2-1)D.y=2.61cosx-1)D.y=2.61cosxx x1.951.953.003.003.943.945.105.106.126.12y y0.970.971.591.591.981.982.352.352.612.6113【解析解析】选选B.B.由表格知当由表格知当x=3x=3时时,y=1.59,y=1.59,而而A A中中y=2y=23 3=8,=8,不合要求不合要求,B,B中中
6、y=logy=log2 23(1,2),C3(1,2),C中中y=(3y=(32 2-1)=4,-1)=4,不合不合要求要求,D,D中中y=2.61cos30,y=2.61cos30).k(k0).24写出写出y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式,并指出并指出这这个函数的定个函数的定义义域域;求羊群年增求羊群年增长长量的最大量的最大值值;当羊群的年增当羊群的年增长长量达到最大量达到最大值时值时,求求k k的取的取值值范范围围.25【解题导引解题导引】(1)(1)根据图象信息根据图象信息,确定函数解析式确定函数解析式.(2)(2)由于最大蓄养量为由于最大蓄养量为m m只只,实际蓄养量为实
7、际蓄养量为x x只只,则蓄养率则蓄养率为为 ,故空闲率为故空闲率为1-.1-.建立函数模型后建立函数模型后,利用函数的利用函数的最值求羊群年增长量的最大值最值求羊群年增长量的最大值.26【规范解答规范解答】(1)(1)前前1010天满足一次函数关系天满足一次函数关系,设为设为y=y=kx+b,kx+b,将点将点(1,10)(1,10)和点和点(10,30)(10,30)代入函数解析式得代入函数解析式得 解得解得 则当则当x=6x=6时时,y=.,y=.答案答案:27(2)(2)根据题意根据题意,由于最大蓄养量为由于最大蓄养量为m m只只,实际蓄养量为实际蓄养量为x x只只,则蓄养率为则蓄养率为
8、 ,故空闲率为故空闲率为1-,1-,由此可得由此可得y=y=kx (0 xm);kx (0 xm);对原二次函数配方对原二次函数配方,得得y=-(xy=-(x2 2-mx)-mx)即当即当x=x=时时,y,y取得最大值取得最大值 ;28由题意知为给羊群留有一定的生长空间由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即即0 x+ym.0 x+ym.因为当因为当x=x=时时,y,ymaxmax=,=,所以所以0 +m,0 +m,解得解得-2k2.-2k0,k0,所以所以0k2.0k2.29【母母题变题变式式】1.1.若将本
9、例若将本例(2)(2)“与空与空闲闲率的乘率的乘积积成正比成正比”改改为为“与空与空闲闲率的乘率的乘积积成反比成反比”,又如何表示出又如何表示出y y关于关于x x的函数解析式的函数解析式?30【解析解析】根据题意根据题意,由于最大蓄养量为由于最大蓄养量为m m只只,实际蓄养量实际蓄养量为为x x只只,则蓄养率为则蓄养率为 ,故空闲率为故空闲率为1-,1-,因为羊群的年因为羊群的年增长量增长量y y只和实际蓄养量只和实际蓄养量x x只与空闲率的乘积成反比只与空闲率的乘积成反比,由由此可得此可得 312.2.若本例若本例(2)(2)牧牧场场中羊群的最大蓄养量中羊群的最大蓄养量为为10000100
10、00只只,实际实际蓄养量蓄养量为为80008000只只,比例系数比例系数为为k=1,k=1,则则此此时时的年增的年增长长量量为为多少多少?32【解析解析】由题意由题意,可知可知y=kx (0 xm),y=kx (0 xm),此时此时m=10000,x=8000,k=1,m=10000,x=8000,k=1,代入计算可得代入计算可得y=1y=180008000 =1600.=1600.故此时羊群的年增长量为故此时羊群的年增长量为16001600只只.33【规规律方法律方法】一次函数、二次函数模型一次函数、二次函数模型问题问题的常的常见类见类型及解型及解题题策略策略(1)(1)单单一考一考查查一次
11、函数或二次函数模型一次函数或二次函数模型.解决此解决此类问题类问题应应注意三点注意三点:二次函数的最二次函数的最值值一般利用配方法与函数的一般利用配方法与函数的单调单调性解性解决决,但一定要密切注意函数的定但一定要密切注意函数的定义义域域,否否则则极易出极易出错错;34确定一次函数模型确定一次函数模型时时,一般是借助两个点来确定一般是借助两个点来确定,常常用待定系数法用待定系数法;解决函数解决函数应应用用问题时问题时,最后要最后要还还原到原到实际问题实际问题.35(2)(2)以分段函数的形式考以分段函数的形式考查查.解决此解决此类问题应类问题应关注以下关注以下三点三点:实际问题实际问题中有些中
12、有些变变量量间间的关系不能用同一个关系式的关系不能用同一个关系式给给出出,而是由几个不同的关系式构成而是由几个不同的关系式构成,如出租如出租车车票价与票价与路程之路程之间间的关系的关系,应应构建分段函数模型求解构建分段函数模型求解;36构造分段函数构造分段函数时时,要力求准确、要力求准确、简洁简洁,做到分段合理、做到分段合理、不重不漏不重不漏;分段函数的最分段函数的最值值是各段的最大是各段的最大(或最小或最小)值值中的最大中的最大(或最小或最小)值值.易易错错提醒提醒:1.:1.构建函数模型构建函数模型时时不要忘不要忘记记考考虑虑函数的定函数的定义义域域.372.2.对对构建的构建的较较复复杂
13、杂的函数模型的函数模型,要适要适时时地用地用换换元法元法转转化化为为熟悉的函数熟悉的函数问题问题求解求解.38【变变式式训练训练】(2016(2016漳州模漳州模拟拟)“活水活水围围网网”养养鱼鱼技技术术具有养殖密度高、具有养殖密度高、经济经济效益好的特点效益好的特点.研究表明研究表明:“活活水水围围网网”养养鱼时鱼时,某种某种鱼鱼在一定的条件下在一定的条件下,每尾每尾鱼鱼的平均的平均生生长长速度速度v(v(单单位位:千克千克/年年)是养殖密度是养殖密度x(x(单单位位:尾尾/立方立方米米)的函数的函数.当当x x不超不超过过4 4尾尾/立方米立方米时时,v,v的的值为值为2 2千克千克/年年
14、;当当4x204x20时时,v,v是是x x的一次函数的一次函数,当当x x达到达到2020尾尾/立方米立方米时时,因缺氧等原因因缺氧等原因,v,v的的值为值为0 0千克千克/年年.39(1)(1)当当0 x200 x20时时,求函数求函数v v关于关于x x的函数解析式的函数解析式.(2)(2)当养殖密度当养殖密度x x为为多大多大时时,鱼鱼的年生的年生长长量量(单单位位:千克千克/立方米立方米)可以达到最大可以达到最大?并求出最大并求出最大值值.40【解析解析】(1)(1)由题意得当由题意得当0 x40 x4时时,v=2;,v=2;当当4x204x20时时,设设v=ax+b,v=ax+b,
15、显然显然v=ax+bv=ax+b在在(4,20(4,20内是减函数内是减函数,由已知得由已知得 所以所以 故函数故函数 41(2)(2)设年生长量为设年生长量为f(x)f(x)千克千克/立方米立方米,依题意并由依题意并由(1)(1)可可得得 当当0 x40 x4时时,f(x),f(x)为增函数为增函数,故故f(x)f(x)maxmax=f(4)=4=f(4)=42=8;2=8;当当4x204x20时时,f(x)=,f(x)=f(x)f(x)maxmax=f(10)=12.5.=f(10)=12.5.42所以当所以当0 x200 x20时时,f(x),f(x)的最大值为的最大值为12.5.12.
16、5.即当养殖密度为即当养殖密度为1010尾尾/立方米时立方米时,鱼的年生长量可以达鱼的年生长量可以达到最大到最大,最大值为最大值为12.512.5千克千克/立方米立方米.43【加固加固训练训练】1.(20161.(2016石家庄模石家庄模拟拟)某种新某种新药药服用服用x x小小时时后血液中的后血液中的残留量残留量为为y y毫克毫克,如如图图所示所示为为函数函数y=f(x)y=f(x)的的图图象象,当血液当血液中中药药物残留量不小于物残留量不小于240240毫克毫克时时,治治疗疗有效有效.设设某人上午某人上午8:008:00第一次服第一次服药药,为为保保证疗证疗效效,则则第二次服第二次服药药最最
17、迟迟的的时时间应为间应为()44A.A.上午上午10:00 B.10:00 B.中午中午12:0012:00C.C.下午下午4:00 D.4:00 D.下午下午6:006:0045【解析解析】选选C.C.当当x0,4x0,4时时,设设y=ky=k1 1x,x,把把(4,320)(4,320)代入代入,得得k k1 1=80,=80,所以所以y=80 x.y=80 x.当当x4,20 x4,20时时,设设y=ky=k2 2x+b.x+b.把把(4,320),(20,0)(4,320),(20,0)分别代分别代入入可得可得 所以所以y=400-20 x.y=400-20 x.所以所以y=f(x)=
18、y=f(x)=由由y240,y240,46得得 解得解得3x43x4或或4x8,40),=k (k0),当当x=25x=25时时,有有303025-500-k =025-500-k =0 k=50,k=50,故故y=30 x-500-50 (0 x100,xNy=30 x-500-50 (0100 x100时时,y=30 x-500-50 -200=30 x-50 -700,y=30 x-500-50 -200=30 x-50 -700,所以所以 522024/4/18 周四53(2)(2)设每张门票至少需要设每张门票至少需要a a元元,则有则有20a-50 -500020a-50 -5000
19、 20a5020a502 +5002 +500 aa5 +2555 +2552.24+25=36.2,2.24+25=36.2,又又a a取整数取整数,故取故取a=37.a=37.所以每张门票至少需要所以每张门票至少需要3737元元.544.(20164.(2016吉林模吉林模拟拟)某个体某个体经营经营者把开始者把开始6 6个月个月试销试销A,BA,B两种商品的逐月投两种商品的逐月投资资金金额额与所与所获纯获纯利利润润列成下表列成下表:投投资资A A种商种商品品金金额额(万元万元)1 12 23 34 45 56 6获纯获纯利利润润(万元万元)0.650.65 1.391.39 1.851.8
20、5 2 2 1.841.84 1.41.455该经营该经营者准者准备备第第7 7个月投入个月投入1212万元万元经营这经营这两种商品两种商品,但但不知投入不知投入A,BA,B两种商品各多少万元才合算两种商品各多少万元才合算.请请你帮助制你帮助制定一个定一个资资金投入方案金投入方案,使得使得该经营该经营者能者能获获得最大得最大纯纯利利润润,并按你的方案求出并按你的方案求出该经营该经营者第者第7 7个月可个月可获获得的最大得的最大纯纯利利润润(结结果保留两位有效数字果保留两位有效数字).).投投资资B B种商种商品品金金额额(万元万元)1 12 23 34 45 56 6获纯获纯利利润润(万元万元
21、)0.250.25 0.490.49 0.760.76 1 1 1.261.26 1.511.5156【解析解析】以投资额为横坐标以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标纯利润为纵坐标,在平面在平面直角坐标系中画出散点图直角坐标系中画出散点图,如图所示如图所示.57观察散点图可以看出观察散点图可以看出,A,A种商品所获纯利润与投资额之种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.由于由于(4,2)(4,2)为最高点为最高点,则可设则可设y yA A=a(x-4)=a(x-4)2 2+2,+2,再把点再把点(1,0.65)(1,0.65)代入代入
22、,得得0.65=a(1-4)0.65=a(1-4)2 2+2,+2,解得解得a=-0.15,a=-0.15,所以所以y yA A=-0.15(x-4)=-0.15(x-4)2 2+2.+2.58B B种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是纯线性种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是纯线性的的,可以用一次函数模型进行模拟可以用一次函数模型进行模拟.设设y yB B=kx+b,=kx+b,取点取点(1,0.25)(1,0.25)和和(4,1)(4,1)代入代入,得得0.25=k+b,1=4k+b,0.25=k+b,1=4k+b,解得解得k=0.25,b=0,k=0.25,b=0,所以所以y y
23、B B=0.25x.=0.25x.59设第设第7 7个月投入个月投入A,BA,B两种商品的资金分别为两种商品的资金分别为x xA A万元万元,x,xB B万万元元,总利润为总利润为p p万元万元,那么那么x xA A+x+xB B=12,=12,p=yp=yA A+y+yB B=-0.15(x=-0.15(xA A-4)-4)2 2+2+0.25x+2+0.25xB B,所以所以p=-0.15(xp=-0.15(xA A-4)-4)2 2+2+0.25(12-x+2+0.25(12-xA A)=-0.15x=-0.15xA A2 2+0.95x+0.95xA A+2.6+2.6 60当当x x
24、A A=3.2(=3.2(万元万元)时时,p,p取最大值取最大值,约为约为4.14.1万元万元,此此时时x xB B=8.8(=8.8(万元万元).).即该经营者第即该经营者第7 7个月把个月把1212万元中的万元中的3.23.2万元投资万元投资A A种商品种商品,8.8,8.8万元投资万元投资B B种商品种商品,可获得最大利润约为可获得最大利润约为4.14.1万元万元.61考向二考向二函数函数y=x+y=x+模型的模型的应应用用【典例典例2 2】(2016(2016商丘模商丘模拟拟)某养殖某养殖场场需定期需定期购买饲购买饲料料,已知已知该场该场每天需要每天需要饲饲料料200200千克千克,每
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