2018人教A版数学必修二4.1.1《圆的标准方程》示范教案.docx
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1、第四章 圆与方程本章教材分析 上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力. 通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之
2、一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):4.1.1圆的标准方程1课时4.1.2圆的一般方程1课时4.2.1直线与圆的位
3、置关系2课时4.2.2圆与圆的位置关系2课时4.3.1空间直角坐标系1课时4.3.2空间两点间的距离公式1课时本章复习1课时4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为
4、了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观
5、察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.重点难点教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.课前准备:(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说
6、明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计:一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性);一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次:不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义:到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程?教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那
7、么,圆可以用一个方程表示吗?圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆?图1中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?图1我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?讨论结果:根据
8、两点之间的距离公式,得|AB|=,|CD|=.平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.将上式两边平方得(x-a)2+(y-
9、b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程,反之若点M的坐标满足方程,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果:圆的标准方程(xa)
10、2(yb)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为:1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2;2根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组;3解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法:当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)
11、2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外;2点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内.应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径是3;圆心在点C(3,4),半径是;(3)经过点P(5,1),圆心在
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