2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版).doc

2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】利用复数除法运算化简求得再分析即可.
【详解】
.故在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算与复平面的理解,属于基础题型.
3．设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】判断的大致范围再排序即可.
【详解】
,且,又.
故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.
4．设为实数，直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据直线垂直的公式求解再分析充分必要条件即可.
【详解】
因为直线,
当时有.
故直线,则“”是“”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了直线垂直的公式以及充要条件的判定,属于基础题型.
5．执行如下图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】读懂求解的量,直接写出结果进行计算即可.
【详解】
由框图可知,输出的.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了程序框图的理解与裂项相消的方法,属于中等题型.
6．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易得该组合体为长方体上一个圆锥,根据体积公式计算即可.
【详解】
易得该组合体为长方体上一个圆锥,体积为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求解组合体体积的问题,属于基础题型.
7．正三角形中，是线段上的点，，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】以为原点建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
如图建立以为原点的空间直角坐标系,易得,,.
故,,
故

故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算,可以选择建立平面直角坐标系求解,属于中等题型.
8．已知函数的部分图象如图所示，则函数在上的值域为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据周期与最值求得的解析式,再求解值域即可.
【详解】
由题,,周期满足,故.
故.代入有,又,故.
故,当时,,
故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据三角函数图像求解解析式与求值域的问题,需要根据周期与最值求解析式,再根据函数单调性求值域.属于中等题型.
9．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于，两点.若是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】根据离心率与焦点到渐近线的距离可求得双曲线的方程,再根据点差法求解斜率即可.
【详解】
由题,双曲线中,又焦点到渐近线的距离,且,解得.故双曲线.
设则,两式相减得
.又中点,
故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的方程求解以及点差法求解中点弦的斜率,属于中等题型.
10．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了，，，四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是，3号门里是；乙同学说：2号门里是，3号门里是；丙同学说：4号门里是，2号门里是；丁同学说：4号门里是，3号门里是.如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 由题意得，甲同学说：1号门里是，3号门里是，乙同学说：2号门里是，3号门里是；丙同学说：4号门里是，2号门里是；丁同学说：4号门里是，3号门里是 ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是是正确的；乙同学说的2号门中有是正确的；并同学说的3号门中有是正确的；丁同学说的4号门中有是正确的，则可判断在四扇门中，分别存有 ，所以号门里是，故选A.
点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．
11．在锐角三角形中，内角、、的对边分别为、、.若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据诱导公式与和差角公式化简可得,再计算临界条件求解即可.
【详解】
由题得
,因为锐角三角形,故,
所以,即.
再考虑临界条件,当为直角时,.
当为直角时,.
故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了诱导公式以及和差角公式与正弦定理的综合运用,同时与考查了临界条件求取值范围的思想,属于中等题型.
12．定义在上且周期为4的函数满足：当时，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出函数在区间上的函数,再分析的交点个数即可.
【详解】
由题, 的零点个数即的函数图像交点个数.
画出的图像,同时恒过定点,且函数周期为4.
故..

故临界条件分别为过和与相切.
取值分别为,,.
当与相切时,设切点为,又,故.
,故.故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数零点的个数问题,需要根据题意画出对应的图像,再分析临界条件求得对应的斜率的值即可.属于中等题型.

二、填空题
13．在等比数列中，已知，，则________.
【答案】8
【解析】利用等比数列的等积性质求解即可.
【详解】
因为等比数列,故,故.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了等比数列的等积性质,属于基础题型.
14．已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为______.
【答案】2
【解析】根据奇函数在关于原点对称位置的切线斜率相等,直接求解在处的导函数即可.
【详解】
因为当时,故.根据奇函数的图像知, 在点处的切线斜率等于在点处的切线斜率为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了奇函数对称性的应用以及导数的几何意义.属于中等题型.
15．设不等式组所表示的平面区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点不落在内的概率为______.
【答案】
【解析】画出与半圆,再利用几何概型的方法分析即可.
【详解】
由题,画出与图像.
因为为半圆.故有

易得可行域的面积为.半圆面积为.
故点不落在内的概率为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了几何概型的一般方法,重点是画好所给的函数图像,属于中等题型.
16．已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.
【答案】
【解析】根据题意画出正方体的对角截面,分析正方体的边长再计算外接球表面积即可.
【详解】

如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中为母线, 为底面直径,
,是正方体的棱长,是正方体的上、下底面的对角线,
设正方体的棱长为,则,,
又,.故高.
依题意得,,即.
故正方体的体对角线,即外接球的直径.
故外接球表面积.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了空间几何体中的长度计算以及外接球的问题等.需要根据题意画出图像找到对应的关系列式求解计算.属于中等题型.

三、解答题
17．已知数列中，，，.
（1）求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】(1)根据求得,化简成含的表达式再得即可.
(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列的通项公式,再代入即可求得数列的通项公式,再根据分组求和求解即可.
【详解】
（1）证明：因为
所以,
又因为,则,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.
（2）由（1）知,所以,
所以

【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.
18．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 （单位：吨）的频率分布直方图，如图一.

（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；
（2）已知该居民月用水量与月平均气温（单位：℃）的关系可用回归直线模拟.2019年当地月平均气温统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过的概率.
【答案】（1），
（2）
【解析】(1)根据频率分布直方图的图形面积之和为1列式求解.再利用频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.
(2)利用枚举法将所有可能的情况列举,再根据古典概率的求解方法计算即可.
【详解】
（1）由图一可知,
该居民月平均用水量约为

（2）由回归直线方程知,对应的月平均气温刚好为
,
再根据图二可得,该居民2019年5月和10月的用水量刚好为,且该居民2019年有4个月每月用水量超过,有6个月每月用水量低于,
因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有2个月（记为）每月用水量超过,有3个月（记为）每月用水量低于,从中抽取2个,有共10种结果,
其中恰有一个月用水量超过的有共6种结果,
设“这2个月中恰有1个月用水量超过”为事件,则
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的运用以及分层抽样与古典概型的方法,属于中等题型.
19．已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，.点是棱的中点，点在棱上，且，平面.

（1）求实数的值；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】(1) 连接,设,证明再利用相似三角形求解即可.
(2)求底面四边形的面积,再根据四棱锥的高与的比例求解即可.
【详解】
（1）连接,设,则平面,
,
,
,
.
（2）,
又,
,
所以.

【点睛】
本题主要考查了线面平行的性质与证明,同时也考查了锥体体积的计算方法,属于中等题型.
20．已知椭圆过圆的圆心，且右焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的方程;
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】(1)根据焦点与椭圆上的点,列方程求解即可.
(2)根据三角形的面积公式化简可得,再利用向量的方法可得,再分直线有无斜率的情况,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理代入化简向量的关系求得斜率即可.
【详解】
解：（1）因为抛物线的焦点为,所以,
因为在椭圆上,所以,由,得,所以椭圆的方程为
（2）由得：,即,可得,
①当垂直轴时,,此时满足题意,所以此时直线的方程为;
②当不垂直轴时,设,直线的方程为,
由消去得,
所以,
代入可得：,
代入,得,
代入化简得：,
解得,
经检验满足题意,则直线的方程为
综上所述直线的方程为或
【点睛】
本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆的位置关系.通过分情况联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理表达出对应的表达式化简,进而求得斜率的方法等.属于难题.
21．已知函数，，是的导函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若，，若存在，使得，试比较与的大小.
【答案】（1）当时，有0个极值点；当时，有1个极值点
（2）
【解析】(1)求导后分求导等于0时的根与区间端点0的大小关系分析极值点个数即可.
(2)求导后分别计算,再计算,构造出关于的函数表达式再根据单调性求解分析即可.
【详解】
解：（1）,
当时,在上单调递增,无极值点；
当时,令,则,故在上单调递增,在上单减,故有1个极小值点,无极大值点.
综上：当时,有0个极值点；当时,有1个极值点.
（2）,
,
,
故
,
令,
则,所以在上单调递增,则,
,
,又在上单调递增,
,即
【点睛】
本题主要考查了根据根据导函数研究函数的单调性以及构造函数解决极值点偏移的问题,重点在于找到关于两个极值点间的函数关系,再列式构造函数求单调性与最值等.属于难题.
22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的普通方程和曲线的参数方程;
（2）若点在曲线上运动，求点到曲线距离的最小值及对应的点的坐标.
【答案】（1）,（为参数）
（2）,
【解析】(1)中上下相加消去,中利用余弦的二倍角公式以及极坐标与直角坐标的关系求解出直角坐标方程,再化简成参数方程即可.
(2) 设点再求出点到曲线的距离表达式,利用辅助角公式求解表达式的最值以及对应的参数值即可.
【详解】
解：（1）.故;
又化简得
,即
（2）设点,则
点到曲线的距离
（其中）
,
当时,,此时,即,所以,故
【点睛】
本题主要考查了坐标系与参数方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值问题,主要是根据设对应的参数点根据三角函数的表达式求解,属于中等题型.
23．已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若的值域为，且，解不等式.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】(1)根据绝对值的三角不等式以及基本不等式证明即可.
(2)的值域为可利用绝对值的三角不等式得,再根据求得参数的值,再分情况解不等式即可.
【详解】
（1）证明：
当且仅当时,取等号
（2）,
又
由题意可得或或
故原不等式的解集为或
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式中三角不等式的运用以及基本不等式的方法.同时也考查了绝对值不等式分类讨论的解法,属于中等题型.

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