2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(2)(文科数学含答案详解).doc

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（2）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数，根据共轭复数的概念得到，的共轭复数为：．故答案为：D．
2．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，故选A．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知函数，若，则，由函数为增函数，故：，故选C．
4．函数，的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】，，即值域，若在区间上随机取一个数，的事件记为，则，故选B．
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】，故输出．

6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：．
由题意知．所以，解得．故选A．
7．已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知：，所以向量与的夹角为．
8．已知点在圆：上运动，则点到直线：的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆：化为，圆心半径为1，先求圆心到直线的距离，则圆上一点P到直线：的距离的最小值是．选D．
9．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为18，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为，当直线过点时，有最大值，将点代入得到，故答案为：A．
10．双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于，两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】双曲线的左焦点为，直线的方程为，令，则，即，因为平分线段，根据中点坐标公式可得，代入双曲线方程可得，由于，则，化简可得，解得，由，解得，故选B．
11．已知函数在区间有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，
函数在区间上有最小值，
函数在区间上有极小值，
而在区间上单调递增，
在区间上必有唯一解，
由零点存在定理可得，解得，
实数的取值范围是，故选D．
12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，或，令，则，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以或，即或，故选A．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知，，则“”是直线与直线平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充要
【解析】若直线与直线平行，则有，即，且当时，两直线重合，舍去，因此，即是直线与直线平行的充要条件，故答案为充分必要．
14．某四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积是________．

【答案】27
【解析】由三视图得到几何体如图：
侧面积为；故答案为：27．
15．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，…，，则__________．
【答案】4
【解析】因为，两个函数对称中心均为；画出，的图象，由图可知共有四个交点，且关于对称，，，故，故答案为4．

16．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则_______．
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以，又因为，
所以，所以，即，
所以是以为周期的周期函数；由可得，
则，即，
所以，，又因为，，
所以．故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在内，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的值；
（2）若的面积为，，求的值．
【答案】（1）；（2）7．
【解析】（1）∵．
∴由正弦定理，得．···········1分
∴．
．···········3分
又，∴．···········4分
又∵，．··········5分
又，．··········6分
（2）据（1）求解知，∴．①··········8分
又，·········9分
∴，②··········10分
又，∴据①②解，得．··········12分
18．某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下统计表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数（万人）
13
9
8
10
12
原材料（袋）
32
23
18
24
28
（1）根据所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）．
参考公式：，．
参考数据：，，．
【答案】（1）；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元．
【解析】（1）由所给数据可得：，
，·······2分
，，··5分
则关于的线性回归方程为．·······6分
（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋，
因为，
当时，利润；
当时，利润，
当时，利润．
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元．
·······12分
19．在三棱锥，和都是边长为的等边三角形，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）连接，求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）∵、分别为、的中点．∴．···········2分
又平面．平面．∴平面．···········4分

（2）连接．∵，．∴，
又为的中点，∴，，同理，，···········6分
，又，而，∴．·······7分
平面，平面，又，
∴平面．···········8分
（3）由（2）可知平面．
∴为三棱锥的高，．···········9分
三棱锥的体积为：
．···········12分
20．已知椭圆的方程为，椭圆的短轴为的长轴且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）分别为直线与椭圆、的交点，为椭圆与轴的交点，面积为面积的2倍，若直线的方程为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）椭圆的长轴在轴上，且长轴长为4，
∴椭圆的短轴在轴上，且短轴长为4．·········1分
设椭圆的方程为，则有，·········2分
∴，，∴椭圆的方程为．·········5分
（2）设，，
由面积为面积的2倍得， ∴．·········6分
联立方程，消得，·········8分
∴．同样可求得．·········10分
∴，解得，·········11分
∵，∴．·········12分
21．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），·······1分
当时，在上恒成立，在单调递增；·····3分
当时，令，解得，令，解得，
此时在递增，在递减．·······5分
（2），所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴时，的值域为，·······7分
当，有两个不同的实数根，则，
且满足，·······9分
由，∴①，
又，解得．②
由，，
令，知单调递增，
而，于是时，解得，③
综上，．·······12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求．
【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为；（2）．
【解析】（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为，···········3分
曲线的极坐标方程为．···········5分
（2）射线与曲线的交点的极径为，···········7分
射线与曲线的交点的极径满足，
解得，···········9分
所以．···········10分
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若恒成立，求实数的最大值；
（2）记（1）中的最大值为，正实数，满足，证明：．
【答案】（1）2；（2）见解析．
【解析】由，·········2分
得，要使恒成立，
只要，即，实数的最大值为2；·········5分
（2）由（1）知，又，故，
，
∵，∴，∴．·········10分

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