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浙教版七年级下册数学知识点总结及例题
第1章 平行线
1．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行．
2．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．
思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？
3．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
思考：为什么要经过“直线外”一点？
4．用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论）
5．★★★★★ 同位角、内错角、同旁内角
判断过程：①画出给定的两个角的边（共三条边），公共边就是截线，剩下两条边就是被截线；
②根据同位角、内错角、同旁内角的概念判断．
同位角：在截线的同旁，被截线的同一侧．
内错角：在截线的异侧，被截线之间．
同旁内角：在截线的同旁，被截线之间．
练习：如图，∠1和∠2是一对___________；∠2和∠3是一对___________；
∠1和∠5是一对___________；∠1和∠3是一对___________；
∠1和∠4是一对___________；∠4和∠5是一对___________；
6．★★★★★平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行；
（4）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线平行；
（5）平行于同一条直线的两条直线平行；（不必在同一平面内）
（6）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
练习：如图，要得到AB∥CD，那么可添加条件______________________________．（写出全部）
7．★★★★★平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补．
练习：如图，已知∠1＝58°，∠3＝42°，∠4＝138°，则∠2＝________°.
8．★★★★★图形的平移
（1）概念：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．
（2）性质：平移不改变图形的形状、大小和方向；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
（3）描述一个图形的平移时，必须指出平移的方向和距离！
练习：如图，已知△ABC和其平移后的△DEF．
①点A的对应点是________，点B的对应点是________；
②线段AC的对应线段是________；线段AB的对应线段是________；
③平移的方向是__________，平移的距离是______________________．
④若AC＝AB＝5，BC＝4，平移的距离是3，则CF＝________，DB＝________，AE＝________，
四边形AEFC的周长是_________．
9．★★★折叠问题
方法：（1）找到折叠后和折叠前的图形，若折叠前的图形没有画出，自己必须补画上去；
（2）找到折叠前后能重合的角，它们的度数相等；
（3）利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的内角和、邻补角的性质、平角等计算出角度．
练习：（1）如图，将一张纸条ABCD沿EF折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1＝________．
（2）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α＝_______．
（3）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，
①写出图中所有与∠6相等的角；
②若∠6＝x°，请用含x的代数式表示∠4的度数．
第2章 二元一次方程组
1．★★★二元一次方程的概念
三个条件：（1）含有两个未知数；（2）未知数的项的次数是一次；（3）都是整式．
练习：方程①x－＋2＝0，②xy＝－2，③x2－5x＝5，④2x＝1－3y中，为二元一次方程的是____________．
2．★★★★把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式
（1）用含x的代数式表示y，则应变形为“y＝…”的形式；
（2）用含y的代数式表示x，则应变形为“x＝…”的形式．
练习：（1）已知方程2x－3y＝7，用关于x的代数式表示y得_______________.
（2）已知方程3x＋2y＝6，用关于y的代数式表示x得_______________.
3．★二元一次方程的整数解
方程3x＋2y＝21的正整数解是_________________________．
4．二元一次方程组的概念
三个条件：（1）两个一次方程；（2）两个方程共有两个未知数；（3）都是整式．
5．★★★★★解二元一次方程组
基本思路：消元
消元方法：（1）代入消元；（2）加减消元．（注意：一定要把解代入原方程组检验，保证正确）
练习：（1） （2）
6．★★★★常考题型
练习：（1）已知代数式kx＋b，当x＝2时值为－1，当x＝3时值为－3，则a＋b＝_________．
（2）若方程组的解是，则b＝________．
（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是_______．
（4）请你写出一个以为解的二元一次方程组：_______________.
（5）已知方程组，则x＋y的值为___________．
7．某公司有甲、乙两个工程队．
（1）两队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合做2天完成了全部工程．已知甲队单独完成此项工程所需的天数是乙队单独完成所需的天数的三分之二，则甲、乙两队单独完成各需多少天？
（2）甲工程队工作5天和乙工程队工作1天的费用和为34000元；甲工程队工作3天和乙工程队工作2天的费用和为26000元，则两队每天工作的费用各多少元？
（3）该公司现承接一项（1）中2倍的工程由两队去做，且甲、乙两队不在同一天内合做，又必须各自做整数天，试问甲、乙两队各需做多少天？若按（2）中的付费，你认为哪种方式付费最少？
8．某企业承接了一批礼盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图 1 所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图 2 所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该企业原计划用若干天加工纸箱 300 个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的 1.5 倍，这样提前 3 天超额完成了任务，且总共比原计划多加工 15 个，问原计划每天加工礼盒多少个；
（2）若该企业购进正方形纸板 550 张，长方形纸板 1200 张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 100 张，长方形纸板 a张，全部加工成上述两种纸盒，且 150＜a＜168，试求在这一天加工两种纸盒时 a 的所有可能值．（请直接写出结果）
第3章 整式的乘除
1．★★★★★公式与法则
（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．am·an＝am＋n（m，n都是正整数）
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘．(am) n＝amn（m，n都是正整数）
（3）积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．(ab) n＝anbn（n都是正整数）
（4）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
②完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
(a－b)2＝a2＋b2－2ab
（5）同底数幂的除法：底数不变，指数相减．am÷an＝am－n（a≠0）
（6）a0＝1（a≠0）
（7）a－p＝（a≠0），当a是整数时，先指数变正，再倒数．
当 a是分数时，先把底数变倒数，再指数变正．
（8）单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
（9）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
m(a＋b)＝ma＋mb
（10）多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a＋n)(b＋m)＝ab＋am＋nb＋nm
（11）单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（12）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m（m≠0）
练习：（1）(2a2)3＝___________；3y·(－2x2y3)＝___________；(9x3－3x)÷(3x)＝___________；
(－2)0＝___________；(－3)－3＝___________；(－)－2＝___________；
(2a－1)2＝_______________；(a3)2?a－2a3? a4＝______________；
(1－2a)2－(2－a)(1＋a)＝_______________；(x－2)(x＋2)－(1－2x)2＝_________________．
2．★★★★★用科学记数法表示较小的数：a×10－n （1≤|a|＜10）
方法：第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方．
练习：（1）科学记数法表示0.0000103＝_________________．
（2）1纳米＝0.000000001米，则0.33纳米＝________米．（用科学计数法表示）
（3）把用科学记数法表示的数7.2×10－4写成小数形式为___________________．
3．★★★★常考题型
（1）已知a＋b＝3，ab＝－1，则a2＋b2＝___________．
（2）若多项式x2－(x－a)(x＋2b)＋4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足_____________．
（3）关于x的代数式(3－ax)(x2＋2x－1)的展开式中不含x2项，则a＝___________．
（4）若代数式x2＋3x＋2可以表示为(x－1)2＋a(x－1)＋b的形式，则a＋b的值是　　　　　　．
（5）若(x－m)(2x＋3)＝2x2－nx＋3，则m－n＝__________．
（6）若(2x－5y)2＝(2x＋5y)2＋M，则代数式M应是__________________．
（7）如图，一块砖的外侧面积为a，那么图中残留部分的墙面的面积为_______________．
（8）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为a 米，则绿化的面积为________________m2．
（9）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_________．
第4章 因式分解
1．★★★★因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．
因式分解和整式乘法是互逆关系．
练习：下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
2．★★★★★因式分解的方法
（1）提公因式法：先确定应提取的公因式，然后用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式，最后把多项式写成这两个因式的积的形式．ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
确定公因式的方法：系数的最大公因数和相同字母的最低次幂．
这里的“□”和“△”可以是单项式，也可以是多项式．
（2）用乘法公式因式分解：①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
即：(□)2－(△)2＝(□＋△)(□－△)
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
即：(□)2±2(□)(△)＋(△)2＝(□±△)2
练习：（1）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2－4 B．x2＋2x＋4 C．4x2＋4x＋1 D．x2＋y2
（2）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2＋4 B．x2＋2x＋1 C．x2－4x D．－x2＋9
（3）因式分解：①a3－9a＝_____________________. ②x－xy2＝_____________________．
③x2－8x＋16＝_________________. ④3ax2－6axy＋3ay2＝________________．
⑤a3－4a(a－1)＝_________________.⑥(x－2y)2－x＋2y＝________________．
3．★★★★完全平方式：我们把多项式a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2叫做完全平方式．
即：(□)2±2(□)(△)＋(△)2
练习：（1）若x2＋(2p－3)x＋9是完全平方式，则p的值等于＝____________．
（2）多项式9x2－x＋1加上一个单项式后成为一个整式的平方，请写出3个满足条件的
单项式：_____________________________．
4. 十字相乘法：十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(ax+c)(bx+d)=abx2+(ad+bc)x+cd的逆运算来进行因式分解。
例题：
第5章 分式
1．★★分式的概念：表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式．
两个条件：①字母不在根号里；②分母上有字母．
2．★★★★★分式有意义的条件：分母不为0．
练习：（1）当x________时，分式有意义.
（2）当a_______时，分式没有意义．
3．★★★★★分式的值为0的条件：①分子等于0；②分母不等于0．
练习：（1）当x________时，分式的值为0.
（2）当x________时，分式的值为0.
4．★★★★★分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
＝，＝（其中M是不等于零的整式）
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分.
最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.
练习：（1）下列分式为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
（2）化简：①＝_________；②＝___________．
（3）若x－3y＝0，则分式的值是__________．
5．★★★★★分式的乘除：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
·＝； ÷＝·＝．
练习：计算：①·＝___________；②－3xy÷____________．
6．★★★分式的加减：（1）同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减．±＝．
（2）异分母分式相加减，先通分化成同分母分式，再用同分母分式的加减法计算．
7．★★★通分的方法：取各分母的系数的最小公倍数和各分母所有字母的最高次幂的积为公分母．
8．★★★★★分式的化简求值．
（1）先化简，再求值：÷－1，并选择一个自己喜欢的数代入求值．
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝－3．
（3）先化简，再求值：÷，然后x在1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值．
9．★★★★★分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程．
解分式方程的一般步骤：（1）去分母：方程两边同乘公分母，公分母为分母的系数的最小公倍数和各分母所有字母的最高次幂的积．注意：①不要漏乘单独的数字．②分子是多项式的要用括号括起来．
（2）去括号：注意符号和不要漏乘．
（3）移项，合并同类项：注意移项要变号．
（4）两边同时除以未知数的系数：注意不要颠倒分子分母．
（5）检验：把所求的根代入原分式方程，或者代入公分母，判断方程中的分式有无意义．若无意义，则是増根．
（6）写出结论．一般写法：经检验，x＝___是原方程的根；
或者：经检验，x＝___是原方程的增根，所以原方程无解．
练习：（1）解分式方程：①＝－1 ②＝
（2）若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率p＝（b＞a）．若已知p，b，则a＝__________．
（3）对于非零的实数a、b，规定a⊕b＝－．若2⊕(2x－1)＝1，则x＝___________．
（4）若关于x的分式方程2＋＝有増根，则増根是________，此时k＝_________．
（5）若关于x的分式方程2＋＝无实数解，则k＝____________．
（6）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（ ）
A．－＝5 B．－＝5×60
C．－＝5 D．＋＝5×60
（7）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为（ ）
A．＋＝1 B．10＋8＋x＝30 C．＋8(＋)＝1 D．(1－)＋x＝8
第6章 数据与统计图表
1．数据收集的方法：（1）直接途径：直接观察、测量、调查、实验；
（2）间接途径：查阅文献资料、使用互联网查询．
2．数据整理的方法：分类、排序、分组、编码．
3．★★★★调查方式：（1）全面调查（普查）：人们根据研究自然现象或社会现象的需要，对所有的考察对象作调查．
（2）抽样调查：人们在研究某个自然现象或社会现象时，因为不方便、不可能或不必要
对所有的对象进行调查，于是从中抽取一部分对象作调查分析．
注意：抽取的样本中的个体要有代表性，样本容量要合适．
总体：所要考察的对象的全体；
个体：组成总体的每一个考察对象；
样本：从总体中取出的一部分个体；
样本容量：样本中个体的数目．
练习：（1）PM2.5指数是测控空气污染程度的一个重要指数．在一年中最可靠的一种观测方法是（ ）
A．随机选择5天进行观测 B．选择某个月进行连续观测
C．选择在春节7天期间连续观测 D．每个月都随机选中5天进行观测
（2）下面的调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解居民对废电池的处理情况
B．为了制作校服，了解某班同学的身高情况
C．检测杭州的空气质量
D．了解某市居民的阅读情况
（3）下面调查中，适合抽样调查的是（　 　）
A．对全班同学的身高情况的调查
B．登机前对旅客的安全检查
C．对我县食品合格情况的调查
D．学校组织学生进行体格检查
4．★★★★★条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；
折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；
扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．
练习：（1）要反映嘉兴市一天内气温的变化情况宜采用（　 　）
A．折线统计图 B．扇形统计图 C．频数直方图 D．条形统计图
（2）如图是某手机店今年1－5月份音乐手机销售额统计图．根据图中信息，
可以判断相邻两个月音乐手机销售额变化最大的是（ ）
A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
（3）为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：
由此估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
（4）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（ ）
A．该班总人数为50人 B．步行人数为30人
C．乘车人数是骑车人数的2.5倍 D．骑车人数占20%
（5）某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为___________．
5．列频数统计表的一般步骤：
（1）选取组距，确定组数．组数＝的整数部分＋1．
（2）确定各组的边界值．第一组的起始边界值通常取得比最小数据要小一些，一般的做法是边界值比实际数据多取一位小数．
（3）列表，填写组别和统计各组频数．
6．★★★★★样本容量（数据个数）、频数、频率之间的相互关系
样本容量＝频数÷频率 频数＝样本容量×频率 频率＝频数÷样本容量
练习：（1）一组数据的样本容量是50，若某一小组的频率是0.24，则该组的频数为__________．
（2）在全国初中数学希望杯竞赛中，某校有40名同学进入复赛，把他们的成绩分为六组，第一组至第四组的人数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是________．
7．频数直方图：由若干个宽等于组距，面积表示每一组频数的长方形组成的统计图．
注意：当各组组距都相等时，我们可以把组距看成“1”，那么各个小长方形的面积与它的高度在数值上相等，所以我们通常把小长方形的高度当成频数．
8．组中值：每一组的两个边界值的平均数．后一组的组中值减去前一组的组中值＝组距．
9．2017年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（1）这次抽取了_______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝_______，n＝_______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
10．某市在2017年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）a＝_______，b＝_______；
（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是_______；
（3）若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有_______人．
11．中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度(态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对)．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了______名中学生家长；
（2）将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
12．为了了解学生在一年中的课外阅读量，九（1）班对九年级800名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果分为四种情况：A.10本以下；B.10～15本；C.16～20本；D.20本以上．根据调查结果统计整理并制作了如图所示的两幅统计图表：
各种情况人数统计频数分布表
课外阅读情况
A
B
C
D
频数
20
x
y
40
（1）在这次调查中一共抽查了______名学生；
（2）表中x，y的值分别为：x＝______，y＝______；
（3）在扇形统计图中，C部分所对应的扇形的圆心角是________度；
（4）根据抽样调查结果，请估计九年级学生一年阅读课外书20本以上的学生人数．