2019年北师大版数学八年级下册第一次月考试题(答案解析).doc

2019年北师大版数学八年级下册第一次月考试题（答案解析）
一．选择题（共10小题）
1．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
2．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（　　）

A．50° B．100° C．120° D．130°
6．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
8．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）
A．x2 B．＜x＜x2 C．＜x D．x＜x2＜
9．若x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．3﹣x＞3﹣y B．x﹣3＞y﹣3 C．x+3＞y+2 D．＞
10．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
二．填空题（共10小题）
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=______．

12．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=______．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是______cm．

15．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______．
16．如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是______．
17．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为______．
18．小敏的叔叔家有一块等腰三角形形状的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）．则这块等腰三角形菜地的面积为______平方米．
19．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______．

20．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是______．

三．解答题（共10小题）
21．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

22．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．

23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．

24．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．

25．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

26． 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求原等腰三角形的腰长和底边长．

27．已知a、b满足方程组
（1）求a，b的值；
（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．
28．如图，AD⊥BC于点D，∠B=∠DAC，点E在BC上，△EAC是以EC为底的等腰三角形，AB=4，AE=3．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

29．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；
（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．

30．如图，在直角坐标平面内有两点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是 等腰直角三角形；
（2）求△ABC的面积及AB的长；
（3）在y轴上找一点P，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

北师大版数学八年级下册第一次月考试题
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2016•莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　）

A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

2．（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°，则PE=PC=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．
【解答】解：作PE⊥OA于E，如图，
∵CP∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△EPC中，PE=PC=×4=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD=PE=2．
故选B．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．

3．（2016•天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）

A．13 B．15 C．17 D．19
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

4．（2016•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=3，
∴CD=DE=1，
故选A．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

5．（2016•黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（　　）

A．50° B．100° C．120° D．130°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

6．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

7．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=∠A=×30°=15°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．

8．（2016•大庆）当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）
A．x2 B．＜x＜x2 C．＜x D．x＜x2＜
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．
故选（A）
【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞．

9．（2016•恩施州模拟）若x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．3﹣x＞3﹣y B．x﹣3＞y﹣3 C．x+3＞y+2 D．＞
【分析】根据不等式的性质对各个选项逐一判断，选出错误一项即可．
【解答】解：∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴3﹣x＜3﹣y，A错误；
∵x＞y，∴x﹣3＞y﹣3，正确；
∵x＞y，∴x+3＞y+3，∴x+3＞y+2，C正确；
∵x＞y，∴，D正确，
故选：A．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

10．（2016•西华县校级模拟）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【解答】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，
∴OP=2OM=8，
∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．

二．填空题（共10小题）
11．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=　5　．

【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BF=CF=BC，由AB的垂直平分线交AB于点E，得到BD=AD=4，设DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD=AD=4，
设DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，
即16﹣x2=36﹣（4+x）2，
∴x=1，
∴CD=5，
故答案为：5．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．

12．（2016•绵阳）如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=　66°　．

【分析】先依据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠AOC，然后依据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可求得∠D的度数．
【解答】解：∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°．
∵AC∥BD，
∴∠D=∠C=66°．
故答案为：66°．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得∠C的度数是解题的关键．

13．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为　69°或21°　．
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，
∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：69°或21°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．

14．（2016•深圳二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是　6　cm．

【分析】本题需先根据已知条件得出DC的长，再根据角平分线定理得点D到直线AB的距离等于DC的长度，即可求出答案．
【解答】解：
∵BD=10cm，BC=8cm，∠C=90°，
∴DC=6cm，
由角平分线定理得点D到直线AB的距离等于DC的长度，
故点D到直线AB的距离是6cm；
故答案为：6．

【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、点到直线的距离等知识，在解题时要能灵活应用各个知识点是本题的关键．

15．（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　30　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3
=20×3=30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．

16．（2016•邹平县一模）如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是　2　．

【分析】首先过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质，即可求得点D到BC的距离．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴DE=AD=2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记各性质是解题的关键．

17．（2016•河南模拟）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为　22cm　．

【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，
∴AC=2AE=8cm，AD=DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，
故答案为：22cm
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用性质定理求出AD=DC是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

18．（2016•金华校级模拟）小敏的叔叔家有一块等腰三角形形状的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）．则这块等腰三角形菜地的面积为　480或768　平方米．
【分析】本题要分等腰三角形的顶角是锐角或钝角两种情况讨论解答．
当顶角为锐角时，利用勾股定理求出AE，添加辅助线可求出△ABC的面积．
当顶角为钝角时，作等腰三角形边上的高，利用比例求出AF即可求解．
【解答】解：根据题意，有两种情况
（1）当等腰三角形为锐角三角形时（如图1所示）
∵D为AB中点
∴AD=DB，
∵AD=DB=20，DE=15，
∴AE==25
过C点作CF⊥AB于F
∴DE∥CF，
∴
∴CF==24
∴S△ABC=AB•CF=×40×24=480（m2）

（2）当等腰三角形为钝角三角形时（如图2所示）
过A点作AF⊥BC于F，
∵AD=BD=20，DE=15，
∴BE=25，
∵△BDE∽△BFA，
∴，
∴BF==32，
∴BC=2×32=64，AF=24，
∴S△ABC=×64×24=768（m2）

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质、相似的性质，关键是作出等腰三角形的高，并且要分两种情况讨论解答．难度中等，要学会实际问题数学化，通过数学知识解决实际问题，是一种很重要的方法，要熟练掌握．

19．（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为　16或8　．

【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16．
【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．
故答案为：16或8．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．

20．（2016•聊城模拟）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是　（）n﹣1×75°　．

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．
故答案为：（）n﹣1×75°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

三．解答题（共10小题）
21．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．
【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．
【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．

【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．

22．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．

【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD是BC的中垂线．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．

23．（2016•朝阳区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．

【分析】在直角△ABD中，利用内角和定理求得∠B的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△ABD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵ED⊥BC，∠E=35°，
∴∠B=55°．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BD．
∴∠BAD=∠B=55°．
∴∠BDA=70°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，理解性质是关键．

24．（2016春•苏仙区期末）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．

【分析】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．
【解答】解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；

（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．

【点评】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．

25．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm；

（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．

26．（2016春•高密市期末）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求原等腰三角形的腰长和底边长．
【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为x，y，根据题意列二元一次方程组，没有指明具休是哪部分的长为12，故应该列两个方程组求解．
【解答】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为x，y，由题可得
或，
解得（不合题意，舍去），，
故等腰三角形的腰长为8，底边长为2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分两种情况进行分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．

27．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组
（1）求a，b的值；
（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．
【分析】（1）直接利用加减消元法，即可求得a，b的值；
（2）分别从若7为腰长，2为底边长与若2为腰长，7为底边长，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1），
①+3②得：10a=70，
解得：a=7，
把a=7代入2a+b=16，得：b=2，
∴；

（2）①若7为腰长，2为底边长，则周长为：7×2+2=16；
②若2为腰长，7为底边长，
∵2+2＜7，
∴不能组成三角形，舍去；
∴这个等腰三角形的周长为16．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及二元一次方程组的解法．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

28．（2016春•东城区期末）如图，AD⊥BC于点D，∠B=∠DAC，点E在BC上，△EAC是以EC为底的等腰三角形，AB=4，AE=3．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据AD⊥BC，∠B=∠DAC，求得∠BAC的度数即可；
（2）先根据△EAC是等腰三角形，得出AC=AE=3，再计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；
证明∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠DAC，
∴∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△EAC是等腰三角形，
∴AC=AE=3，
∴△ABC的面积=×AB×AC=×4×3=6．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两条腰相等，等腰三角形具有三线合一的性质．

29．（2016春•西藏校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；
（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故选即可得到∠BOF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴BO=CO，
∵OE是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
∴BO=AO，
∴点O在AB的垂直平分线上；
（2）解：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，
∵OE⊥AC，
∴∠EFA=90°﹣40°=50°，
∵AO=CO，
∴∠OBA=∠BAD=20°，
∴∠BOF=∠EFA﹣∠OBA=50°﹣20°=30°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．

30．（2016春•普陀区期末）如图，在直角坐标平面内有两点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是 等腰直角三角形；
（2）求△ABC的面积及AB的长；
（3）在y轴上找一点P，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）根据点的坐标判断出OA=OB=OC，从而得出结论；
（2）根据点的坐标求出求出BC，OA，再用三角形面积公式即可；
（3）设出点P坐标，根据平面坐标系中，两点间的距离公式表示出BP，AP，再分三种情况计算即可．
【解答】解：∵A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
∴OB=OC=OA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AO⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形，
（2）∵A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
∴BC=4，OA=2，
∴S△ABC=BC×AO=×4×2=4，
∵A（0，2）、B（﹣2，0），
∴AB==2，
（3）设点P（0，m），
∵A（0，2）、B（﹣2，0），
∴AB=4，BP=，AP=|m﹣2|，
∵△PAB是等腰三角形，
∴①当AB=BP时，
∴4=，
∴m=±2，
∴P（0，2）或P（0，﹣2），
②当AB=AP时，
∴4=|m﹣2|，
∴m=2（舍）或m=﹣6，
∴P（0，﹣6），
③当AP=BP时，
∴|m﹣2|=，
∴m=0，
∴P（0，0），
∴P（0，2）或P（0，﹣2）或P（0，﹣6）或P（0，0）．
【点评】此题是等腰三角形性质，主要考查了等腰三角形的判定，两点间的距离公式，方程的解法，解本题的关键是分类讨论计算即可．

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