七年级数学培优讲义word版（全年级章节培优）.doc

<p>第11讲 &nbsp; &nbsp;角
考点•方法•破译
1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算．
2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．
经典•考题•赏析
例1：如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（ &nbsp; &nbsp;）

A．7个 &nbsp; &nbsp; B．9个 &nbsp; &nbsp; C．8个 &nbsp; &nbsp; D．10个
【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B．
【变式题组】
01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．

02．下列语句正确的是（ &nbsp; &nbsp;）
A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 &nbsp;B．两条直线相交组成的图形叫做角
C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 &nbsp;D．两条线段相交组成的图形叫做角
03．关于平角和周角的说法正确的是（ &nbsp; &nbsp;）
A．平角是一条直线 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就是成一个平角 &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．两个锐角的和不一定小于平角
例2：38.33°可化为（ &nbsp; &nbsp;）
A．38°30′3〃 &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．38°33＇ &nbsp; &nbsp; C．38°30′30″〃 &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．38°19′48″〃
【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．
【变式题组】
01．把下列各角化成用度表示的角：
⑴15°24′36″〃 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;⑵36°59′96″〃 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ⑶50°65′60″〃
02．⑴3.76°＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;度 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 分 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;秒
⑵3.76°＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; 分 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;秒
⑶钟表在8：30时，分针与时针的夹角为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;度．
03．计算：
⑴23°45′36＋66°14′24″； &nbsp;⑵180°－98°24′30″；〃
⑶15°50′42″×3； ⑷88°14′48″÷4
例3：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ．
【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45°
【变式题组】
01．如图所示，那么∠2与（∠1－∠2）之间的关系是（ &nbsp; &nbsp;）
A．互补 &nbsp; B．互余 &nbsp; &nbsp; C．和为45° &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．和为22.5°

02．55°角的余角是（ &nbsp; &nbsp;）
A．55° &nbsp; &nbsp; B．45° &nbsp; &nbsp; C．35° &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．125°
03．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③（∠α＋∠β）④（∠α－∠β）（ &nbsp; &nbsp;）
A．4个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．3个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．2个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．1个
例4：如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝　　　　　．

【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠AOC．
解：因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠AOC＝∠AOD＝×150°＝75°．
【变式题组】
01．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（ &nbsp; &nbsp;）

A．20° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．40° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．50° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．80°
02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（ &nbsp; ）

A．50° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．60° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．140° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．160°

03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ &nbsp; &nbsp;）
A．45° &nbsp; &nbsp; B．60° &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．75° &nbsp; &nbsp; D．80°
例5：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（ &nbsp; &nbsp;）

A．160° &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．180° &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．120° &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．150°
【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×＝30°，1分钟转过的角度为30°×＝0.5°，分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×＝6°．故选择A．
【变式题组】
01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（　　）
A．90° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．82．5° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．67.5° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．60°
02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; ．
例6：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．
【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．

解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．
【变式题组】
01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转周．

⑴指针所指方向为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
⑵图中互余的角有 &nbsp; &nbsp; &nbsp;对，与∠BOC互补的角是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ．
02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方向是（ &nbsp; &nbsp;）
A．南偏西35° &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．北偏西35° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．南偏东35° &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．南偏东55°
03．如图下列说法不正确的是（ &nbsp; &nbsp;）

A．OA的方向是东偏北30° &nbsp; B．OB的方向是西偏北60°
C．OC的方向是西偏南15° &nbsp;D．OD的方向是西南方向

例7：如图，O是直线 AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有 &nbsp; &nbsp; 对．
【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．
【变式题组】
01．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，则∠BOE＝　　　　　．

02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数．

03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．

演练巩固 &nbsp;反馈提高
01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（ &nbsp; &nbsp;）
A．55° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．45° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．145° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．135°
02．如图直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于（ &nbsp; &nbsp;）
A．56° &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．46° &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．45° &nbsp; &nbsp; D．44°

03．把一张长方形的纸片按图的方位折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB＇的延长线上，则∠EMF的度数是（ &nbsp; &nbsp;）
A．85° &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．90° &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．95° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．100°
04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用A、B、C表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应是（ &nbsp; &nbsp;）
A．65° &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．35° &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．165° &nbsp; &nbsp; D．135°
05．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，则必有（ &nbsp; &nbsp;）
A． ∠β＝∠θ &nbsp; &nbsp; &nbsp;B． ∠β＝∠θ &nbsp; &nbsp; &nbsp;C． ∠β＝∠θ &nbsp; &nbsp; &nbsp;D． ∠β＝∠θ
06．某校初一年级在下午3：00开展“阳光体育”活动，下午3：00这一时刻，时针上分针与时针所夹角等于 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;°．
07．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB ＝4：3，那么∠BOC等于（ &nbsp; &nbsp;）
A．10° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．40° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．45° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．70°或10°
08．已知∠AOB＝120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3，那么∠AOC的度数是（ &nbsp; &nbsp;）
A．40° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．40°或80° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．30° &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．30°或90°
09． ⑴如图所示，已知∠AOB是直角，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？

10．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．

⑴若∠AOD＝70°，∠MON＝50°，求∠BOC的大小；
⑵若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小．（用字母α、β的式子表示）
11．如图所示，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数．

12．如图所示，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．

⑴求∠DOE的度数；
⑵若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会改变吗？

13．如图，根据图回答下列问题：
⑴∠AOC是哪两个角的和；
⑵∠AOB是哪两个角的差．
14．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，根据图形回答问题：
⑴图中哪些角是∠2的2倍；
⑵图中哪些角是∠3的3倍；
⑶图中哪些角是∠AOD的倍；
⑷射线OC是哪个角的三等分线．

15．如图直线AB与CD相交于点O ，那么∠1＝∠2吗？试说明理由．

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01．一个角的补角的是6°，则这个角是（ &nbsp; &nbsp;）
A．68° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．78° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．88° &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．98°
02．用一副三角板可以画出大于0°且小于180°的不同角度数有（　　　） 种．
A．9种 &nbsp; &nbsp; B．10种 &nbsp; &nbsp; C．11种 &nbsp; D．12种
03．如图，∠AOB＝180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠BOD＝α，则与α余角相等的是（ &nbsp; &nbsp;）

A．∠COD &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．∠COE &nbsp; &nbsp; C．∠DOA &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．∠COA
04．4点钟后，时针与分针第二次成90°，共经过（ &nbsp;）分钟（答案四舍五入到整数）．
A．60 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．30 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．40 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．33
05．如图OM、ON、OP分别是∠AOB、∠BOC、∠AOC的平分线，则下列各式中成立的是（ &nbsp; &nbsp;）

A．∠AOP ＞∠MON &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．∠AOP ＝∠MON &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
C．∠AOP ＜∠MON &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．以上情况都有可能　
06．如图，∠AOC是直角，∠COD＝21.5°，且OB、OD分别是∠AOC、∠BOE的平分线，则∠AOE等于（ &nbsp; &nbsp;）

A．111．5° &nbsp; &nbsp; B．138° &nbsp; &nbsp; C．134．5° &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．178°
07．下列说法不正确的是（ &nbsp; &nbsp;）
A．角的大小与角的边画出部分的长短无关 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
B．角的大小与它们的度数的大小是一至的
C．角的平分线是一条线段 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
D．角的和、差、倍、分的度数等于它们度数的和、差、倍、分
08．和艘轮船由A地向南偏西45°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西15°方向行驶40海里到达C地，则A、C相距（ &nbsp; ）海里．
A．30 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．40 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．50 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．60
09． ∠A的补角是125°12＇，则它的余角是（ &nbsp; &nbsp;）
A．54°18＇ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．35°12＇ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．35°48＇ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．54°48＇
10．如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（ &nbsp; &nbsp;）
A．2倍 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．倍 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．5倍 &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．倍
11．一个角的补角与这个角的余角的度数之比为3：1，则这个角是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;度．
12． α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算（α＋β＋γ）的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确答案，则α＋β＋γ＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; ．

13．已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，求∠MOC的度数．

第18讲 二元一次方程组及其解法
考点·方法·破译
1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；
2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义；
3．熟练掌握二元一次方程组的解法.
经典·考题·赏析
【例1】 已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件：
⑴这个方程中有且只有两个未知数；
⑵含未知数的次数是1；
⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.
【解】根据二元一次方程的概念可知：，解得m＝2,n＝ －2,故m＋n＝0.
【变式题组】
01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.
⑴2x＋5y＝16 &nbsp;(2)2x＋y＋z＝3 &nbsp; (3)＋y＝21 &nbsp;(4)x2＋2x＋1＝0 &nbsp;(5)2x＋10xy＝5
02．若方程2xa＋1＋3＝y2b－5是二元一次方程，则a＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; ,b＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
03．在下列四个方程组①，②，③，④中，是二元一次方程组的有 （ &nbsp;）
A．1个 &nbsp; &nbsp; B．2个 &nbsp; &nbsp; C．3个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．4个
【例2】（十堰中考）二元一次方程组 的解是 （ &nbsp; ）
A． &nbsp; &nbsp; B． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．
【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.
本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D．
【变式题组】
01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是 &nbsp;（ &nbsp; ）
A．5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．－5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．1
02．（盐城）若二元一次方程的一个解为，则此方程可以是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（只要求写一个）
03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列方程组中符合题意的是 &nbsp; &nbsp;（ &nbsp; &nbsp;）
A． &nbsp; &nbsp; B． &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．
4．（连云港）若，是二元一次方程组，的解，则a＋2b的值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
①
②
【例3】解方程组
【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.
解：由①得，y＝7－x &nbsp; &nbsp;③
将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, &nbsp;即35－2x＝17 &nbsp;x＝9
故此方程组的解是
【变式题组】
1.解方程组：
（南京）⑴ &nbsp; &nbsp; （海淀）⑵
（花都）⑶ &nbsp; &nbsp; （朝阳）⑷
2．方程组的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为 （ &nbsp; ）
A．5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．－5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．－3
①
②
【例4】解方程组
【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.
本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.
解：①×5得，y＝7－x &nbsp; &nbsp;③
③＋②,得 ，13x＝26 &nbsp;∴x＝2 &nbsp;将x＝2代入①得 y＝－1
∴此方程组的解是.
【变式题组】
01．(广州)以为解的二元一次方程组是 （ &nbsp;）
A． &nbsp; &nbsp; &nbsp;B． &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; &nbsp; D．
02．解下列方程组：
（日照）⑴ &nbsp; &nbsp; &nbsp;（宿迁）⑵
03．（临汾）已知方程组的解为，则2a－3b的值为 （ &nbsp; ）
A．4 &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．6 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．－6 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．－4
①
②
04．已知 &nbsp; &nbsp; ，那么x－y的值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，x＋y的值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.

①
②
【例5】已知二元一次方程组 &nbsp; &nbsp;的解满足x＋y＝6,求k的值.
【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.
解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 &nbsp;③ &nbsp; ③－②,得 2x＋7y＝22 &nbsp;④ &nbsp;由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,得 &nbsp;－5y＝－10 &nbsp;∴y＝2 &nbsp; 将y＝2代入x＋y＝6得 &nbsp;x＝4 将带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 &nbsp;∴k＝2.
【变式题组】
01．已知⑴与⑵有相同的解，则m＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp;,n＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
02．方程组的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为 （ &nbsp; ）
A．5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．－5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．－3
03．已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.

①
②
【例6】解方程组
【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.
解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为
③
④

③×3，得 12a＋9b＝12 &nbsp;⑤ &nbsp; ④×4, 得 12a－20b＝48 &nbsp;⑥－⑤,得 29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入
③，得 a＝4 ∴可得方程组 故原方程组的解为.
【变式题组】
01．解下列方程组：
⑴ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;⑵（湖北十堰）
02．（淄博）若方程组的解是，则方程组的解是 &nbsp;（ &nbsp;）
A． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B． &nbsp; &nbsp; C． &nbsp; &nbsp; D．
03．解方程组：
①

②
&nbsp;
【例7】（第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组的解应为，小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是，则a2＋b2＋c2的值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
【解法辅导】是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意分析可知：是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、b的又一个方程，由此三个方程可求得a、b、c的值.
解：34
【变式题组】
01．方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值是 （ &nbsp;）
A．不能确定 &nbsp; &nbsp; B．a＝3, c＝1, d＝1 &nbsp; &nbsp; C． c、d不能确定 &nbsp; &nbsp; D． a＝3, c＝2, d＝ －2
02．甲、乙良人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C，解得，求A、B、C的值.

演练巩固 反馈提高
01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，用含y的式子表示x是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
02．(邯郸)已知是方程组的解，则a＋b＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
03．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; , &nbsp; y＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
04．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
05．若x3m－n＋y2n－m＝－3是二元一次方程，则m＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ,n＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp;时，它是一元一次方程，当m＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp;时，它是二元一次方程.
07．（苏州）方程组的解是 （ &nbsp; ）
A． &nbsp; &nbsp; &nbsp; B． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．
08．（杭州）已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是 （ &nbsp; ）
A．1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．－3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D． －1
09．（苏州）方程组的解是 &nbsp;（ &nbsp;）
A． &nbsp; &nbsp;B． &nbsp; &nbsp; C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．
10．（山东）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程3x＋3y＝6的解，则k的值为 （ &nbsp; ）
A．－ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．－
11．（怀柔）已知方程组的解为，求的值为多少？
12.解方程组：
⑴（滨州） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;⑵（青岛）
⑶
13．已知方程组和方程组的解相同，求代数式3a＋7b的值.
14． 已知方程组的解x与y的和为8，求k的值.
15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求m2的值.
培优升级 奥赛检测
①
②
01．当k、b为何值时，方程组
⑴有唯一一组解 &nbsp; &nbsp;⑵无解 &nbsp; &nbsp; ⑶有无穷多组解
02．.当k、m的取值符合条件 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 时，方程组至少有一组解.
03．已知：m是整数，方程组有整数解，求m的值.
04．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0),则式子的值等于 （ &nbsp;）
A．－ &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．－ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．－15 &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．－13
05．（信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足＝，＝，＝，
则的值为 （ &nbsp; ）
A． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．
06． （广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋3y＋7m＝20,那么m的值为 &nbsp;（ &nbsp;）
A．0 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．3
07．（广西赛题）若|a＋b＋1|与（a－b＋1）2互为相反数，则a与b的大小关系是 （ &nbsp;）
A．a＞b &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．a＝b &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．a＜b &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．a≥b
08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组

09.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组的解的组数为 （ &nbsp;）
A．1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．4

10．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by，其中a、b为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ &nbsp;）
A．20 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．18 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．16 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．14

11．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋500b＝2001,则a＋b＝ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .

12．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.

13．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝ … ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,
&nbsp; 求x1 ，x2， …x100，x101的值.

第19讲 实际问题与二元一次方程组
考点·方法·破译
1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路.
2．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法.
3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.
4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此列出方程组.
经典·考题·赏析
【例1】甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米?
【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意
(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程.有两个相等关系：①相向而行:汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶的路程＝160千米；②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶(1+)小时的路程.
(3)本题的基本数量关系有:路程＝速度×时间.
解：设汽车的速度为每小时x千米，拖拉机的速度为每小时y千米，根据题意，得解这个方程组，得
答:汽车走了】65千米，拖拉机走了85千米.
【变式题组】
01．A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后二人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人的平均速度.

02．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他开车以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75干米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离.

03．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.

【例2】一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干天后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?
【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成，乙每天完成；
(2)若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，最后利用“工作量＝工作效率x工作时间”列出方程.
解:设原计划甲做x天，乙做y天，则有，解方程组，得答:原计划甲做8天，乙做6天.
【变式题组】
01．一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做8天正好完成；如果乙先做5天后，甲加入合做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件?

02．为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程队单独做此项工程需3个月完成，每月要耗资12万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元.
⑴若甲、乙两工程队合做这项工程，需几个月完成?耗资多少万元?
⑵因种种原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.(时间按整月计算)

【例3】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少?
【解法指导】找出本题中的等量关系为：骡子的袋数+1＝2×(驴子的袋数－1)，驴子的袋教+1＝骡子的袋数－1
解:设骡子所驮货物有x袋，驴子有y袋，则依题意可得，解这个方程组，得.答:驴子原来所驮货物有7袋.
【变式题组】
01．第一个容器有水44升，第二个容器有水56升.若将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器的容量.

02．(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

【例4】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套(一个螺钉配一个螺母)时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房?
【解法指导】这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：(1)生产螺钉的人数+生产螺母的人数＝总人数(81名)；
(2)每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数.
解:设生产螺钉的工人有x名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得解方程组，得
答:有36名工人生产螺钉.有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.
【变式题组】
01．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母)，则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母?

02．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4把椅子配套?

03．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?

【例5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁.
【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.
师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，可列表帮助分析:

过去
现在
将来
师
y
x
37
生
0
y
x
差
y－0
x－y
37－x

【解】设现在老师x岁，学生y岁，依题可列方程组
解此方程组得答:老师今年25岁，学生今年12岁.
【变式题组】
01．甲、乙两人聊天，甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”.同学们，你能算出这两人现在各是多少岁吗？试试看.

02．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的两倍，A现在的年龄是( &nbsp; )
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
03．甲对乙风趣地说:“我像你这样大岁数的那年，你才2岁，而你像我这样大岁数的那年，我已经38岁了.甲、乙两人现在的岁数分别为___________.
【例6】(威海)汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种账篷共600顶.已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，则A、B两种帐篷各多少顶?
【解法指导】本题等量关系有两个：A种帐篷数＋B种帐篷数＝600，1700×A种帐篷数＋1300×B种帐篷数＝940000，若设A、B两种帐篷数分别为x、y，即可得方程组.
【解】设A种帐篷有x顶，B种帐篷有y顶，依题意可列方程组解这个方程组可得 答：A种帐篷400顶，B种帐篷200顶.
【变式题组】
01．(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬莱的能力是:每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工?

02．(济南)教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格.

03．（云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求:
&nbsp;(1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元?
&nbsp;(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?

【例7】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为公顷、10公顷和24公顷.第一块牧场可供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?
【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉的草量，分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:
第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量；
第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量；
第三块牧场:原有草量+18周长出的草量＝？头牛18周吃掉的草量.
解:设牧场每公顷原有草x吨，每公项每周新长草y吨，每头牛每周吃草a吨，依题意，得
解这个关于x、y的二元一次方程组，得
设第三块牧场18周的总草量可供z头牛吃18个星期，则:
答:第三牧场可供36头牛吃18个星期.
【变式题组】
01．某江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.若想尽快处理好险情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水机多少台?

02．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则</p>