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高中数学直线方程练习题

一．选择题（共12小题）
1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）
2．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D．[﹣2，]
3．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣，+∞） D．[﹣，﹣2]
4．已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） B．[﹣，] C．[﹣3，2] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
5．已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．或k≥5 B． C． D．
6．已知A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（　　）
A． B．
C． D．∪
7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．＜k＜2 B．k＞2或k＜ C．k＞ D．k＜2
8．已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
9．经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（　　）
A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0
10．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（　　）
A．2x+y=0 B．x+y+3=0
C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0
11．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（　　）
A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0
12．已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（　　）
A．（5，0） B．（6，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣3）

二．填空题（共4小题）
13．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是　 　．
14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=　 　．
15．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=　 　时，l1∥l2，当m=　 　时，l1⊥l2．
16．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a的值等于　 　．

三．解答题（共11小题）
17．已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为　 　．
18．已知x，y满足直线l：x+2y=6．
（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；
（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．
19．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），
（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；
（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．
20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值．
21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
22．已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l3的方程．
（3）求与l3距离为的直线方程．
23．已知直线l：y=3x+3
求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；
（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．
24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．
27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．
（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=，求△ABC的面积；
（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108=0经过点P，求直线l的倾斜角．

高中数学直线方程练习题
参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．（2016秋•滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）
【分析】利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．
【解答】解：kPA==2，kPB==﹣8，
∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．
故选：C．
【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．（2016秋•碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D．[﹣2，]
【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．
【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），
连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，
连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．
∴k的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．

3．（2016秋•雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣，+∞） D．[﹣，﹣2]
【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．
【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），
kPA==﹣2，kPB==﹣．
∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，
∴≤≤﹣2，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．（2016秋•庄河市校级期末）已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） B．[﹣，] C．[﹣3，2] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
【分析】画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 k≥kPN 或 k≤kPM，用直线的斜率公式求出kPN和kPM的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：如图所示：
由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPN 或 k≤kPM，
即 k≥=2，或 k≤=﹣3，
∴k≥2，或k≤﹣3，
故选：A．

【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．

5．（2013秋•迎泽区校级月考）已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．或k≥5 B． C． D．
【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．
【解答】解：（如图象）即P（﹣1，2），
由斜率公式可得PM的斜率k1==5，
直线PN的斜率k2==，
当直线l与x轴垂直（红色线）时记为l′，
可知当直线介于l′和PM之间时，k≥5，
当直线介于l′和PN之间时，k≤﹣，
故直线l的斜率k的取值范围是：k≤﹣，或k≥5
故选A

【点评】本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率的关系，属中档题．

6．（2004秋•南通期末）已知A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（　　）
A． B．
C． D．∪
【分析】先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出倾斜角的具体范围．
【解答】解：设直线l的斜率等于k，直线的倾斜角为α
由题意知，kPB==﹣，或 kPA==﹣
设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π），tanα=k，
由图知0°≤α≤120° 或 150°≤α＜180°
故选：D．

【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于基础题．

7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．＜k＜2 B．k＞2或k＜ C．k＞ D．k＜2
【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，数形结合得答案．
【解答】解：点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1），
∵直线PA的斜率是=2，
直线PB的斜率是=．
如图，
∵直线l与线段AB始终有公共点，
∴斜率k的取值范围是（，2）．
故选：A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

8．（2017•成都模拟）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．由，可得=2=2，点O是直线AE的中点．根据，B，O，D三点共线，可得点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．即可得出．
【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．
∵，∴=2=2，
∴点O是直线AE的中点．
∵，B，O，D三点共线，
∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM=EC=BC，=，
∴DM=MC，
∴AD=AM=AC，
∴t=．
故选：B．

【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．（2016秋•沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（　　）
A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0
【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．
【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，
即4x+3y﹣12=0．
故选D．
【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．

10．（2016秋•平遥县校级期中）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（　　）
A．2x+y=0 B．x+y+3=0
C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0
【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．
【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得 k=﹣3，
故直线方程是 x+y+3=0．
综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，
故选：D．
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．

11．（2015秋•运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（　　）
A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．
综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．
故选：D．
【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．

12．（2013春•泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（　　）
A．（5，0） B．（6，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣3）
【分析】利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果．
【解答】解：如图所示，；
∵△ABC的顶点A（2，3），三条中线交于点G（4，1），
设BC边上的中点D（x，y），则=2，
∴（4﹣2，1﹣3）=2（x﹣4，y﹣1），
即，
解得，
即所求的坐标为D（5，0）；
故选：A．

【点评】本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是基础题．

二．填空题（共4小题）
13．（2015•益阳校级模拟）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是　﹣3　．
【分析】根据l1∥l2，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否满足l1∥l2即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴a（a+1）﹣2×3=0，
即a2+a﹣6=0，
解得a=﹣3，或a=2；
当a=﹣3时，l1为：﹣3x+3y+1=0，
l2为：2x﹣2y+1=0，满足l1∥l2；
当a=2时，l1为：2x+3y+1=0，
l2为：2x+3y+1=0，l1与l2重合；
所以，实数a的值是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，是基础题目．

14．（2015秋•天津校级期末）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=　﹣7　．
【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．
【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，
则 （3+a）（5+a）﹣4×2=0，
即a2+8a+7=0．
解得，a=﹣1或a=﹣7．
又∵5﹣3a≠8，
∴a≠﹣1．
∴a=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．

15．（2015秋•台州期末）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=　﹣1　时，l1∥l2，当m=　　时，l1⊥l2．
【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．
【解答】解：∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，
l1∥l2，
∴=≠，
解得m=﹣1；
∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，
l1⊥l2，
∴1×（m﹣2）+3m=0，
解得m=；
故答案为：﹣1，．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．

16．（2016春•信阳月考）如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a的值等于　a=2或a=﹣2　．
【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．
【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0为直线N
①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直．
②当直线M和N的斜率都存在时，kM=（，kN= 要使两直线互相垂直，即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：a=﹣2．
③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．
综上所述：a=2或a=﹣2
故答案为：a=2或a=﹣2
【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1，应注意斜率不存在的情况．

三．解答题（共11小题）
17．（2016秋•兴庆区校级期末）已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为　k≤﹣3，或k≥1　．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：如图，

∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），
又，
∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．
故答案为：k≤﹣3，或k≥1．
【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

18．（2015春•乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6．
（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；
（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．
【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l的对称点P的坐标．
（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），
则满足，解得a=，b=，故；
（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．
当x=1时，y=，当x=3时，y=，
由可得A（1，），B（3，），
从而kBC==，kAC==﹣，
∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．

19．（2016秋•浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），
（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；
（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．
【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；
（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．
【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，
∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，
①当直线l平行直线AB时：kAB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b
依题意得：=2，解得：b=或b=，
故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；
②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）
依题意得：=2，解得：k=，
故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；
（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，
经过AB中点的直线，
若2m＜|AB|，则有2条；
若2m=|AB|，则有1条；
若2m＞|AB|，则有0条，
∵|AB|=5，
综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意；
当m=2.5时，有3条直线符合题意；
当m＞2.5时，有2条直线符合题意．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力

20．（2015秋•眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值．
【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．
（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值
【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，
∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，
解方程组，得Q（1，﹣2），
∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．
（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，
当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，
∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于 =2．
【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．

21．（2010秋•常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．
【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x﹣y﹣4．（3分）
得
∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）
（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）
S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）
∵k＜0，∴﹣k＞0，
∴S△AOB=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．
当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）
∴△AOB的面积最小值是4，（14分）
直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）
【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．

22．（2016秋•枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l3的方程．
（3）求与l3距离为的直线方程．
【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；
（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；
（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．
【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．
所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）． …（4分）
（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．
故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）
解法二：
因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．
所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．
直线PN的方程为：，整理得：．
故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）
（3）设与l3平行的直线为，
根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，
所以与l3为：，或．…（13分）
【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．

23．（2015秋•嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3
求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；
（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．
【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；
（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），
则由 ，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．
（2）由，解得：交点为，
在直线y=x﹣2上任取点（2，0），
得到对称点为，
所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0
【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．

24．（2014秋•宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M1，点M关于y轴的对称点M2，求得直线M1M2的方程，
与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．
【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）．同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（﹣3，5）．
据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0．
得交点P（，）．
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）．
解方程组
x+2y﹣7=0，
x﹣2y+2=0，
故点P（，）、Q（0，）即为所求．

【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．

25．（2010•广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．
法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解．
法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l的方程．
【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，
此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），
截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．
解方程组得
A（，﹣）．
解方程组得
B（，﹣）．
由|AB|=5．
得（﹣）2+（﹣+）2=52．
解之，得k=0，直线方程为y=1．
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．

解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d==，
且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，
设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ==，故θ=45°．
由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，
又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．

解法三：设直线l与l1、l2分别相交A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0．
两式相减，得（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=5．①
又（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=25．②
联立①、②可得或
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．
故所求的直线方程为x=3或y=1．

【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．

26．（2009秋•重庆期末）已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．
【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．
【解答】解：设直线l′的斜率为k′，
则，…（7分）
，…（10分）
直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）
【点评】本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．

27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．
（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=，求△ABC的面积；
（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108=0经过点P，求直线l的倾斜角．
【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．
（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，由题意可得 =2，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，由斜率求直线l的倾斜角．
【解答】解：（1）∵点C在线段OB上，且∠ACB=，∴∠ACO=，故AC的倾斜角为，
故AC的斜率为﹣1，设点C（0，b），由﹣1= 得 b=2，即点C（0，2），
BC=4，点A到BC的距离为2，故△ABC的面积为 ×4×2=4．
（2）设D（m，n），点P（c，d），AB的方程+=1，即 3x+y﹣6=0，
由 得 m=，n=，故D（，），
=（﹣c，﹣d），=（﹣，），
由题意知，=2，
∴﹣c=﹣，﹣d=，解得 c=，d=﹣，
故P（，﹣），把P（，﹣）代入直线l：ax+10y+84﹣108=0，
得 a•+10•+84﹣108=0，即得 a=10．
∴直线l的斜率为 =﹣，故直线l的倾斜角为 120°．
【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．

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