高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解.doc

对数与对数函数
1.对数
（1）对数的定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN.
②loga=logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
2.对数函数
（1）对数函数的定义
函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）
（2）对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
（3）对数函数的性质:
①定义域：（0，+∞）.
②值域：R.
③过点（1，0），即当x=1时，y=0.
④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.
基础例题
1.函数f（x）=|log2x|的图象是?

2.若f －1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为___________________.
3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.
4.若logx=z，则x、y、z之间满足
A.y7=xz B.y=x7z
C.y=7xz D.y=zx
5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
6.若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于
A. B. C. D.
7.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于 (x=-2非解)
A. B.－ C.2 D.－2
8.函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是

9.设f －1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若［1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则f（a+b）的值为
A.1 B.2 C.3 D.log23
10.方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.

典型例题
【例1】 已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为
A. B. C. D.

【例2】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.

【例3】 已知f（x）=log［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.

【例4】已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.

【例5】设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和
g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.

【例6】 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.

【例7】 在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是
A.f1（x）=x (平方作差比较) B.f2（x）=x2
C.f3（x）=2x D.f4（x）=logx
探究创新
1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.
（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？

2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点.
（1）求实数k的值及函数f －1（x）的解析式；
（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数
y=g（x）的图象，若2 f －1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.
6