高中数学必修五数列测试题.doc

必修五阶段测试二(第二章　数列)
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{an}中，公比q＝－2，且a3a7＝4a4，则a8等于(　　)
A．16 B．32 C．－16 D．－32
2．已知数列{an}的通项公式an＝则a2·a3等于(　　)
A．8 B．20 C．28 D．30
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a3＝b3，2b3－b2b4＝0，则数列{an}的前5项和S5为(　　)
A．5 B．10 C．20 D．40
4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)
A．102 B. C. D．108
5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)
A．81 B．120 C．168 D．192
6．等差数列{an}中，a10<0, a11>0, 且a11>|a10|, Sn是前n项的和，则(　　)
A．S1, S2, S3, …， S10都小于零，S11，S12，S13，…都大于零
B．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
C．S1，S2，…，S5都大于零，S6，S7，…都小于零
D．S1，S2，…，S20都大于零，S21，S22，…都小于零
7．(2017·桐城八中月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于(　　)
A．16 B．8 C．4 D．不确定
8．(2017·莆田六中期末)设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6和S7均为Sn的最大值
9．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是前n项和，则(　　)
A．S4＜S5 B．S6＜S5 C．S4＝S5 D．S6＝S5
10．(2017·西安庆安中学月考)数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝(n∈N*，n≥2)，则a6等于(　　)
A. B. C. D．7
11．(2017·安徽蚌埠二中期中)设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是(　　)
A．25 B．50 C．75 D．100
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋3n(n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝，则数列{bn}的前64项和为(　　)
A. B. C . D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．等差数列{an}中，a4＋a10＋a16＝30，则a18－2a14的值为________．
14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
15．(2017·广东实验中学)若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝________.
16．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an；
(2)已知数列的前n项和Sn＝2n2＋n，求数列的通项公式．

18.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.

19．(12分)(2017·唐山一中期末)已知等差数列{an}满足：a2＝5，前4项和S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.

20.(12分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)．
(1)当t为何值时，数列{an}是等比数列；
(2)在(1)的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
21．(12分)等差数列{an}的各项都是整数，首项a1＝23，且前6项和是正数，而前7项之和为负数．
(1)求公差d；
(2)设Sn为其前n项和，求使Sn最大的项数n及相应的最大值Sn.
22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足：b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{bn}的通项公式bn；
(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

答案与解析
1．A　在等比数列{an}中，∵a3a7＝a4a6＝4a4，
∴a6＝4，∴a8＝a6q2＝4×(－2)2＝16.故选A.
2．B　由已知得a2·a3＝(2×2－2)(3×3＋1)＝20.
3．B　由2b3－b2b4＝0，
得2b3＝b，∴b3＝2，∴a3＝2，
故S5＝＝5a3＝10，故选B.
4．D　将an＝－2n2＋29n＋3看作一个二次函数，
但n∈N*，对称轴n＝开口向下，
∴当n＝7时离对称轴最近，∴an的最小值为a7＝108，故选D.
5．B　设等比数列的公比为q，
∴a5＝a2·q3，
∴243＝9×q3，∴q＝3.
∴a1＝＝3.
S4＝＝120，故选B.
6．B　∵a10<0, ∴a1＋9d<0.
∵a11>0, ∴a1＋10d>0.
又a11>|a10|, ∴a1＋10d>－a1－9d.
∴2a1＋19d>0.
∴S19＝19a1＋d＝19(a1＋9d)<0.
排除A、D.
S20＝20a1＋d＝10(2a1＋19d)>0. 排除C.
故选B.
7．B　由题可知数列{an}为等差数列，
∴S25＝＝100，∴a1＋a25＝8，
∴a12＋a14＝a1＋a25＝8，故选B.
8．C　由S5<S6，得S6－S5＝a6>0，
由S6＝S7，得S7－S6＝a7＝0，
∴d<0，S9<S8＝S5，故C错．
9．C　设等差数列的首项为a1，公差为d，
则解得
∴Sn＝－8n＋×2＝n2－9n，
S4＝－20，S5＝－20，
∴S4＝S5，故选C.
10．B　由已知可得数列是等差数列．
∵a1＝1，a2＝，∴＝1，＝，
∴公差d＝－1＝，∴＝＋5d＝1＋＝，
∴a6＝.
11．D　f(n)＝sin的周期T＝50.
a1，a2，…，a24>0，a25＝0，a26，a27，…，a49<0，a50＝0.
且sin＝－sin，sin＝－sin，…
∴S1，S2，…，S50都为正，同理，S51，…，S100都为正，故选D.
12．B　由Sn＝n2＋3n，可得an＝2(n＋1)，
∴bn＝＝，
则数列的前64项和为T64＝
＝，故选B.
13．－10
解析：由等差数列的性质知，a4＋a10＋a16＝3a10＝30，
∴a10＝10.∴a18－2a14＝(a10＋8d)－2(a10＋4d)＝－a10＝－10.
14．4
解析：∵a8＝a6＋2a4，∴a4q4＝a4q2＋2a4.
∵a4>0，∴q4－q2－2＝0.解得q2＝2.
又∵a2＝1，∴a6＝a2q4＝1×22＝4.
15．496
解析：∵an＋1＝4an＋2n，∴a2＝4a1＋2＝6，a3＝4a2＋22＝28；a4＝4a3＋23＝120，a5＝4a4＋24＝496.
16.8
解析：∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
又∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.
∴数列{an}的前8项和最大，即n＝8.
17．解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝3＋2＝5；
当n≥2时，∵Sn＝3＋2n，Sn－1＝3＋2n－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而a1＝5，
∴an＝
(2)∵Sn＝2n2＋n，当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)，
∴an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1.
又当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝4n－1.
18．解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1, 故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn－1＝1＋λan－1得an＝λan－λan－1，即an(λ－1)＝λan－1，由a1≠0，λ≠0得an≠0.所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n，由S5＝得1－2＝，即5＝，解得λ＝－1.

19.解：(1)由题得∴
∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3.
(2)bn＝(－1)n(4n－3)，
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋(－8n＋7＋8n－3)
＝4n.
20．解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)．两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．
∴当n≥2时，{an}是等比数列．要使n≥1时，{an}是等比数列，则只需＝＝3，从而t＝1，即当t＝1时，数列{an}是等比数列．
(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，于是b2＝5.
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d1＝2，d2＝－10.
∵等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，∴d<0，d＝－10.
∴Tn＝15n＋×(－10)＝20n－5n2.

21.解：(1)由题意，得
∴
∴－<d<－，又等差数列各项都是整数，
∴d＝－8或d＝－9.
(2)当d＝－8时，
Sn＝23n＋n(n－1)(－8)＝－4n2＋27n.
当n＝3时，Sn最大，(Sn)max＝45.
当d＝－9时，
Sn＝23n＋n(n－1)×(－9)＝－n2＋n.
当n＝3时，(Sn)max＝42.
22．解：(1)Sn＝3n，Sn－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝S1＝3≠2×31－1，
∴an＝
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，bn－bn－1＝2n－3，以上各式相加得，bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝(n－1)2.
又b1＝－1，故bn＝n2－2n.
(3)由题意得，cn＝＝

当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2×(n－2)×3n－1，
∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2×(n－2)×3n.
两式相减得，－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2×(n－2)×3n，
∴Tn＝－(3＋32＋33＋…＋3n－1)＋(n－2)×3n＝(n－2)×3n－＝.
又T1＝－3＝，符合上式，∴Tn＝(n∈N*)．
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