高考数学理科导数大题目专项训练及答案.doc

高一兴趣导数大题目专项训练
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1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有（其中为自然对数的底，）．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设（），求证：当时，；

2. 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．
(1)求的极值；
(2) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x的方程有两个实根α、β，且。定义函数（I）求的值；（II）判断上单调性，并加以证明；
（III）若为正实数，①试比较的大小；
②证明

4. 若函数在处取得极值.
（I）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（II）是否存在实数m，使得对任意及总有
恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

5．若函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.

6、已知函数
（I）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围

7.已知 ，其中.（Ⅰ）求使在上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求在上的最大值；（Ⅲ）解不等式．

8.已知函数.
（1）求函数在上的最大值、最小值；
（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；
（3）求证：≥N*）.

9.已知函数，设。
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。
（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．

参考答案
1．解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇函数得，因此，函数的解析式为
； 　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）当时，：
①若，则在区间上是增函数，故此时函数在区间上最小值为，得，不符合，舍去。②若，则令，且在区间上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，．
令．
综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3．　　　
（Ⅲ）证明：令。当时，注意到（设h(x)=x-lnx，利用导数求h(x)在的最小值为1，从而证得x-lnx1），故有
．
①当时，注意到，故
；
②当时，有，故函数在区间上是增函数，从而有
。
因此，当时，有。
又因为是偶函数，故当时，同样有，即．
综上所述，当时，有； 　　　　　　　　　
2. 【解】(Ⅰ) ，
． 当时，．
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．
(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即
． 由，可得当时恒成立．
，
由，得． 下面证明当时恒成立．
令，则
， 当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
解法二： 由(Ⅰ)可知当时， (当且当时取等号) ．……7分
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和恒成立，
令，则且
，即． 后面解题步骤同解法一．
3. （I）解：的两个实根，

…………3分
（II），
…………4分
当 …………5分
而，
上为增函数。 …………7分
（III）①

…………9分
由（II），可知 …………10分
②同理，可得

…………12分
又由（I），知

所以 …………14分
4. 解：（I），由条件得：.
，. （1分）
得：.
当时，不是极值点，. （2分）
当时，得或；当时，得或. （4分）
综上得：当时，的单调递增区间为及
单调递减区间为. （5分）
当时，的单调递增区间为及
单调递减区间为. （6分）
（II）时，由(I)知在上单调递减，在上单调递增.
当时，.
又，，则.
当时，. （8分）
由条件有：
.
.即对恒成立.
令，则有：
解得：或. （14分）
5. 【解】:(1)由题意知: 的定义域为,

令

当时,即时,
当时,即
方程有两个不等实根,
若则,则在上
若则,

所以:综上可得:
当时, 的单调递增区间为,单调递减区间为;
当,的单调递增区间为
(2)解法一：因为，所以
令，则
当时，，故
所以：

解法二：
令
当时

所以上单调递减，在单调递增
①当时，在上单调递增，

②当时，
若，则；若，则
故不成立，
综上所得：
6.解：（I），
令（舍去）
单调递增；
当单调递减.
上的极大值
（II）由得
， …………①
设，
，
依题意知上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
（III）由
令，
当上递增；
当上递减
而，
恰有两个不同实根等价于

7. 解：（1）. , 时，，即.
当时，, 即.
在上是减函数的充要条件为. ………（4分）
（2）由（1）知，当时为减函数，的最大值为；
当时，，当时，，当时，
即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，
最大值为， 即 ……（13分）
（3）在（1）中取，即, 由（1）知在上是减函数.
，即，
，解得或.
故所求不等式的解集为[ ……………（8分）
8.解：（1）∵f¢ (x)=∴当xÎ时，f¢ (x)>0，　∴在上是增函数
故，. ……………………4分
（2）设，则，
∵时，∴，故在上是减函数.
又，故在上，，即，
∴函数的图象在函数的图象的下方. ……………………8分
（3）∵x>0，∴，当时，不等式显然成立；
当≥时，有

≥
∴≥N*）
9解.(Ⅰ)

由。

（Ⅱ）
当
…………………………………………4分
（Ⅲ）若的图象与
的图象恰有四个不同交点，
即有四个不同的根，亦即
有四个不同的根。
令，
则。
当变化时的变化情况如下表：

(-1,0)
(0,1)
(1,)
的符号
+
-
+
-
的单调性
↗
↘
↗
↘
由表格知：。
画出草图和验证可知，当时，

………………12分
10.解：（Ⅰ）因为，
所以． …………………………………………3分
因为h（x）在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立．
若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．
又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．
所以a>1．
由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，
所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分
以下证明． （※）
（※）等价于． ……………………………………………11分
令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………………………………………………………13分
r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．
当x1<x2时，r（x1）< r（x2）＝0，即，
从而得到证明．……………………………………………………………………15分
对于同理可证……………………………………………………………16分
所以．
评讲建议：
此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：
要证明，只要证明>1，令，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略．

分