2018年全国高考文科数学2卷-精美解析版.doc

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2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）
文科数学 2018.7.1
本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
1．【解析】，故选D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．【解析】，故选C．
3．函数的图像大致为（ ）
A．O
1
1
x
y
B．O
1
1
x
y

C．O
1
1
x
y
D．O
1
1
x
y

3．【解析】，即为奇函数，排除A；由排除D；由排除C，故选B．
4．已知向量满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
4．【解析】，故选B．
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．【解析】记2名男同学为和3名女同学为，从中任选2人：
，共10种情况．选中的2人都是女同学为：，共3种情况，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D．
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．【解析】离心率，所以，渐近线方程为，故选A．
7．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．

输出
是
否

结束
开始

7．【解析】，
由余弦定理得，
故选A．
8．为计算，设计了右侧的
程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．
B．
C．
D．
8．【解析】依题意可知空白框中应填入．第1次循环：；第2次循环：；；第50次循环：，结束循环得，所以选B．
9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
D1
A
B
C
D
A1
C1
B1
E
9．【解析】如图所示，因为，
所以异面直线与所成角即与所成角，其大小等于，
令正方体的棱长为，则，，
所以，故选C．
10．若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．【解析】因为在区间上是减函数，所以的最大值是，故选C．
11．已知是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．【解析】不妨令椭圆的两个焦点在轴上，如图所示．因为，且，所以，．由，所以离心率，故选D．
x
y
P
F2
F1
O

12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．【解析】因为，所以，则，的最小正周期为．又，，，，所以，选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为 ．
13．【解析】，则曲线在点处的切线方程为．
14．若满足约束条件，则的最大值为 ．
x
A
B
C
O
－3
5
y
14．【解析】可行域为及其内部，当直线经过点时，．

15．已知，则 ．
15．【解析】因为，所以．
16已知圆锥的顶点为，母线互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为 ．
A
S
B
O
16．【解析】如图所示，因为，所以．
又与圆锥底面所成角为，即，
则底面圆的半径，，
圆锥的体积为．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
17．【解析】（1）设等差数列的公差为，则
由，得，
所以，即的通项公式为；
（2）由（1）知，
因为，
所以时，的最小值为．

18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
0
20
40
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
投资额
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
年份
14
19
25
35
37
42
42
47
53
56
122
129
148
171
184
209
220

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
18．【解析】（1）将代入模型①：（亿元），
所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元；
将代入模型②：（亿元），
所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元．
（2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：
答案一：从折现图可以看出，2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预测值更可靠．
答案二：从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元，利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．

19．（12分）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
A
B
C
M
O
P
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
19．【解析】（1）证明：连接，
，为的中点，，
，
，即，，
又，则，即，
，平面；
（2）点到平面的距离为，
，
A
B
C
M
O
P
由余弦定理得，
则，
由（1）知平面，得，
则，
又，
则，
所以点到平面的距离为．

20．（12分）
设抛物线的交点为，过且斜率为的直线与交于两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点且与的准线相切的圆的方程．
x
F
O
A
B
y
－1
20．【解析】（1）焦点为，则直线，
联立方程组，得，
令，则，．
根据抛物线的定义得，
即，解得（舍去），
所以的方程为；
（2）设弦的中点为，由（1）知，所以的坐标为，
则弦的垂直平分线为，令所求圆的圆心为，半径为，
根据垂径定理得，
由圆与准线相切得，解得或．
则所求圆的方程为：或．

21．（12分）
已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
21．【解析】（1）时，，则，
由得；
由得，
所以时，的单调增区间为，减区间为．
（2）因为恒成立，所以要证明只有一个零点等价于证明方程，
即证明直线与曲线只有一个交点．

所以在上为单调递增的函数，所以直线与曲线只有一个交点，得证．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
22．【解析】（1）消去参数，得的直角坐标方程为；
消去参数，得的直角坐标方程为；
（的直角坐标方程也可写成：或．）
（2）方法1：将的参数方程：为参数代入得：
，即，
由韦达定理得，
依题意，曲线截直线所得线段的中点对应，即，得．
因此的斜率为．
方法2：令曲线与直线的交点为，
则由得，其中．
所以，即的斜率为．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
23．【解析】（1）时，，
时，，解得；
时，，解得；
时，，解得，
综上所述，当时，不等式的解集为．
（2），即，
又，
所以，等价于或，
解得的取值范围为或．
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