2019届浦东新区高考数学一模.doc

浦东新区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试
高三数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 已知全集，集合，则____________．
2. 抛物线的焦点坐标为____________．
3. 不等式的解为____________．
4. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为____________．
5. 若函数的图像恒过点，则函数的图像一定经过定点____________．
6. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，则____________．
7. 在中，内角的对边是，若，则____________．
8. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为____________．
9. 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为____________．
10. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为____________．
11. 已知数列满足：，且，若，则____________．
12. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为____________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13. “”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
14. 下列命题正确的是（ ）
A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面
C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种
A. 72 B. 36 C. 64 D. 81
16. 已知点，为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知直三棱柱中，．
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离．

18. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知函数．
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的单调递增区间和值域．

19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：exp）与游玩时间（小时）满足关系式：；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．
（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围．

20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．
（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
（2）若，试求双曲线的标准方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为．
（1）求，并猜想（不要求证明）；
（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，数列满足：，，求证：．

浦东新区2018学年度第一学期教学质量检测
高三数学试卷 2018.12
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 已知全集，集合，则______________.
2. 抛物线的焦点坐标为_________.
3. 不等式的解为____________.
4. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为_________.
5. 若函数的图像恒过点，则函数的图像一定经过定点_______.
6. 已知数列为等差数列，其前项和为.若，则________.12
7. 在中，内角的对边是.若，，则_____________.
8. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为　 　．
9. 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为，则展开式中的第五项为________.
10. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_____.
11. 已知数列满足：，且若则___________. 1009
12. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为_________.
解：当时，.
当时，
（1）若，则在上是单调递增函数，所以.若满足题目要求，则，所以.又，所以.
（2）若，则，在上是单调递增函数，此时；在上是单调递减函数，此时.若满足题目要求，则，又，所以.
综上，.
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13. “”是“一元二次方程有实数解”的（ ）A
（A）充分非必要条件 （B）充分必要条件
（C）必要非充分条件 （D）非充分非必要条件
14. 下列命题正确的是（ ）D
（A）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
（B）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面
（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面
（D）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
15. 将位志愿者分配到进博会的个不同场馆服务，每个场馆至少人，不同的分配方案有（ ）种.B
（A） （B） （C） （D）
16. 已知点，为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）A
（A） （B） （C） （D）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分
已知直三棱柱中，.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）在直三棱柱中，，
,
所以，．…………………………2分
因为，，所以，为异面直线与所成的角或补角．……4分
在中，因为，，
所以，异面直线与所成角为．…………………………7分
（2）设点到平面的距离为，
由（1）得，…………………………9分
，…………………………11分
因为，，…………………………12分
所以，，解得，．
所以，点到平面的距离为．…………………………14分

或者用空间向量：
（1） 设异面直线与所成角为，如图建系，则，，…………4分
因为，
所以，异面直线与所成角为．…………7分

（2）设平面的法向量为，则．
又，，……………9分
所以，由，得．…………12分
所以，点到平面的距离．…………………………14分

18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知函数.
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的单调递增区间和值域.
解：（1）∵角的终边与单位圆交于点，∴ ……2分
…4分
（2）
…………………………6分
…………………………8分
由得，
又，所以的单调递增区间是； ………………10分
∵，∴ …………………………12分
∴，的值域是. ………………14分

19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为.
（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累积经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围.
解：（1） ––––––––––––––––– （写对一段得1分，共3分）
时， ––––––––––––––––– ––––––––––––––––– ––––––––––––––––– –––––––––––––––––（6分）
（2）时，––––––––––––––– –––––––––––––––––（8分）

① –––––––––––––– –––––– –––––– ––––––– –––––––––––––––––（10分）
② ––––––––––––– –––––– –––––– –––––––– –––––––––––––––––（12分）
综上，––––––––––––––– –––––––––––– –– –––––––––– –––––– –––––– –––––– –––––––––––（14分）

20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知双曲线: 的左、右焦点分别是 、，左、右两顶点分别是 、，弦 和所在直线分别平行于 轴与 轴，线段的延长线与线段相交于点 P（如图）．
（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
（2）若， ，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

解：（1）双曲线的渐近线方程为：
20题图
即，所以，…………2分
从而，，
所以．………………………………………………………………………………………..4分
（2）设 ，则由条件知：
，
，即．…………6分
所以， ，…………………………………………………………………..…………7分
代入双曲线方程知：……9分
………………………………………………………………….. 10分
（3）因为，所以，由（1）知，，所以的方程为: ，
令，所以，
，令，所以，
，令，所以， …………12分
故以为直径的圆的方程为：，
即，
即，……………………………………………….14分
若以为直径的圆恒经过定点
于是

所以圆过轴上两个定点和……………………………………………………16分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点（），并在第一象限内的抛物线上依次取点（），使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为.
（1）求，并猜想（不要求证明）；
（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：数列满足：
求证：.
解：（1），––––––––––––––– –––––––––––––––––（2分）
猜想––––––––––––––– –––––––––––––––––（2分）
（2）––––––––––––––– –––––––––––––––––（5分）
由
––––––––––––––– –––––––––––––––––（6分）
–––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––（7分）

–––––––––––––––––（9分）
对任意恒成立––––––––––––––––（10分）.
（3）记，则
––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––（12分）
记，则
––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––（14分）

当时，可知：
–––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––（18分）
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