近三年高考全国卷理科立体几何真题.doc

新课标卷近三年高考题
1、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面
ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF
都是．
（I）证明：平面ABEF平面EFDC；
（II）求二面角EBCA的余弦值．
【解析】
⑴ ∵为正方形 ∴
∵ ∴
∵ ∴面 面
∴平面平面

⑵ 由⑴知
∵
平面
平面
∴平面
平面
∵面面
∴,∴
∴四边形为等腰梯形
以为原点，如图建立坐标系，设

，，
设面法向量为.
，即

设面法向量为
.即

设二面角的大小为.

二面角的余弦值为

2、（2016年全国II高考）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．

【解析】⑴证明：∵，∴，
∴．
∵四边形为菱形，∴，
∴，∴，∴．
∵，∴；
又，，∴，
∴，∴，
∴，∴．
又∵，∴面．
⑵建立如图坐标系．

，，，，
，，，
设面法向量，
由得，取，
∴．
同理可得面的法向量，
∴，
∴．

3、（2016年全国III高考）如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值.
设为平面的法向量，则，即，可取，
于是.

4、【2015高考新课标2，理19】
如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点，先求出面的法向量，利用求直线与平面所成角的正弦值．
5、 【2015高考新课标1，理18】
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，
∴，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分
故.
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ……12分
【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角.
6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1­3，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D­AE­C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E­ACD的体积．

图1­3
解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝.
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.
7、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1­5，三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

图1­5
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A ­A1B1 ­C1的余弦值．
解：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．
又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.
由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.
又B1O＝CO，故AC＝AB1.
(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.
又因为AB＝BC，所以△BOA≌ △BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­　xyz.

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A，B(1，0，0)，B1，C.
＝，
＝AB＝，
1＝BC＝.
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则
即所以可取n＝(1，，)．
设m是平面A1B1C1的法向量，
则
同理可取m＝(1，－，)．
则cos〈n，m〉＝＝.
所以结合图形知二面角A ­A1B1 ­ C1的余弦值为.

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