高中数学高考总复习集合习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习集合习题及详解
一、选择题
1．(09·全国Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝(　　)
A．{5,7} B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
[答案]　C
[解析]　M∪N＝{1,3,5,6,7}，
∴∁U(M∪N)＝{2,4,8}，故选C.
2．(2010·烟台二中)已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}
C．[0，＋∞) D．[0,1]
[答案]　C
[解析]　M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.
[点评]　本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y2＝x与y＝x2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N的代表元素是什么以确定集合M∩N中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A.
3．设集合P＝{x|x＝＋，k∈Z}，Q＝{x|x＝＋，k∈Z}，则(　　)
A．P＝Q B．PQ
C．PQ D．P∩Q＝∅
[答案]　B
[解析]　P：x＝＋＝，k∈Z；Q：x＝＋＝，k∈Z，从而P表示的奇数倍数组成的集合，而Q表示的所有整数倍数组成的集合，故PQ.选B.
[点评]　函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．
4．(文)满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4
[答案]　B
[解析]　集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．
(理)(2010·湖北理，2)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．1
[答案]　A
[解析]　结合椭圆＋＝1的图形及指数函数y＝3x的图象可知，共有两个交点，故A∩B的子集的个数为4.
5．(2010·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
[答案]　D
[解析]　由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则∁UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.
6．(文)(2010·合肥市)集合M＝{x|x2－1＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋2＝0}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．{－1,1} B．{－1}
C．{1} D．∅
[答案]　B
[解析]　∵M＝{1，－1}，N＝{1,2}，∴M∩N＝{1}，
故阴影部分表示的集合为{－1}．
(理)(2010·山东省实验中学)如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)

A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩∁IC D．(A∩∁IB)∩C
[答案]　D
[解析]　阴影部分在A中，在C中，不在B中，故在∁IB中，因此是A、C、∁IB的交集，故选D.
[点评]　解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M中时，必在集合M的补集中．
7．已知钝角△ABC的最长边长为2，其余两边长为a，b，则集合P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示的平面图形的面积是(　　)
A．2 B．4
C．π－2 D．4π－2
[答案]　C
[解析]　由题中三角形为钝角三角形可得①a2＋b2<22；②a＋b>2；③0<a<2,0<b<2，于是集合P中的点组成由条件①②③构成的图形，如图所示，则其面积为S＝－×2×2＝π－2，故选C.

8．(文)(2010·山东滨州)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
[答案]　B
[解析]　∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，
∴A∩B＝{1}．
(理)P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝(　　)
A．{(1，－2)} B．{(－13，－23)}
C．{(1，－2)} D．{(－23，－13)}
[答案]　B
[解析]　α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，
令a＝β，得　∴
∴P∩Q＝{(－13，－23)}．
9．若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x、y∈M}，则N中元素的个数为(　　)
A．9　 　 　 B．6　 　 　 C．4　 　 　 D．2
[答案]　C
[解析]　N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}，按x、y∈M，逐个验证得出N.
10．(文)已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集．若n∈A时，总有2n＋2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为(　　)
A．62　　　 B．66　　　 C．68　　　 D．74
[答案]　B
[解析]　若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时A∪B已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于A∩B＝∅，∴4,6,8∉A，此时A∪B中将增加14个元素，∴A∪B中元素个数最多有52＋14＝66个．
(理)设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对任意a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
[答案]　C
[解析]　A：自然数集对减法，除法运算不封闭，
如1－2＝－1∉N,1÷2＝∉N.
B：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝∉Z.
C：有理数集对四则运算是封闭的．
D：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭．
如(＋1)＋(1－)＝2，－＝0，×＝2，÷＝1，
其运算结果都不属于无理数集．
二、填空题
11．(文)已知集合A＝{x|logx≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.
[答案]　0
[解析]　A＝{x|0<x≤}，∵A⊆B，
∴a≤0，∴c＝0.
(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
[答案]　2
[解析]　∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.
12．(2010·浙江萧山中学)在集合M＝{0，，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x∈A，则∈A”的概率是________．
[答案]　
[解析]　集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，则∈A”的集合A中的元素为1,2或，且，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{，2}，{1，，2}．因此，所求的概率为.
13．(文)(2010·江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
[答案]　1
[解析]　∵A∩B＝{3}，∴3∈B，
∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.
(理)A＝{(x，y)|x2＝y2}　B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝________.
[答案]　{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析]　A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
14．若A＝{x|22x－1≤}，B＝{x|logx≥}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.
[答案]　{x|0<x≤}
[解析]　由22x－1≤得，x≤－，由logx≥得，0<x≤，
∴(∁RA)∩B＝{x|x>－}∩{x|0<x≤}＝{x|0<x≤}．
三、解答题
15．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)A＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
∴4＋4(a＋1)＋(a2－5)＝0，∴a＝－1或－3.
(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A，
由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)＝0得，a＝－3.
当a＝－3时，B＝{2}，符合题意；
当a<－3时，Δ<0，B＝∅，满足题意；
当a>－3时，∵B⊆A，∴B＝A，
故，无解．
综上知，a≤－3.
16．(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}，若∁U(A∪B)⊆C，求实数a的取值范围．
[解析]　A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<－4，或x>2}，A∪B＝{x|x<－4，或x>－2}，
∁U(A∪B)＝{x|－4≤x≤－2}，而C＝{x|(x－a)(x－3a)<0}
(1)当a>0时，C＝{x|a<x<3a}，显然不成立．
(2)当a＝0时，C＝∅，不成立．
(3)当a<0时，C＝{x|3a<x<a}，要使∁U(A∪B)⊆C，只需，即－2<a<－.
综上知实数a的取值范围是.
17．(文)设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析]　假设A∩B≠∅，则方程组
有正整数解，消去y得，
ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)
由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，
解得－≤a≤.
因a为非零整数，∴a＝±1，
当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，
而x∈N*.故a≠－1.
当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．
故存在a＝1，使得A∩B≠∅，
此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．
(理)(2010·厦门三中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且(a－1)Sn＝a(an－1)(a>0，n∈N*)．
(1)求证数列{an}是等比数列，并求an；
(2)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*，都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)①当n＝1时，∵(a－1)S1＝a(a1－1)，∴a1＝a(a>0)
②当n≥2时，由(a－1)Sn＝a(an－1)(a>0)得，
(a－1)Sn－1＝a(an－1－1)
∴(a－1)an＝a(an－an－1)，变形得：＝a(n≥2)，
故{an}是以a1＝a为首项，公比为a的等比数列，
∴an＝an.
(2)①当a≥1时，A＝{x|1≤x≤a}，S2＝a＋a2>a，∴S2∉A，
即当a≥1时，不存在满足条件的实数a.
②0<a<1时，A＝{x|a≤x≤1}
∵Sn＝a＋a2＋…＋an＝(1－an)，
∴Sn∈[a，)，
因此对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需，解得0<a≤，
综上得实数a的取值范围是(0，]．
含详解答案