高考数学常见难题大盘点:立体几何.doc
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1、精诚凝聚 =_= 成就梦想 2013高考数学常见难题大盘点:立体几何1.如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AA14,点D是AB的中点, (I)求证:ACBC1; (II)求证:AC 1/平面CDB1;解析:(1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直;(2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一:(I)直三棱柱ABCA1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5, ACBC,且BC1在平面ABC内的射影为BC, ACBC1;(II)设CB1与C1B的交点为E,连结D
2、E, D是AB的中点,E是BC1的中点, DE/AC1,ABCA1B1C1Exyz DE平面CDB1,AC1平面CDB1, AC1/平面CDB1;解法二:直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3,BC4,AB5,AC、BC、C1C两两垂直,如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)(1)(3,0,0),(0,4,0),0,ACBC1.(2)设CB1与C1B的交战为E,则E(0,2,2).(,0,2),(3,0,4),DEAC1.点评:2平
3、行问题的转化:转化转化面面平行线面平行线线平行;主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理2.如图所示,四棱锥PABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。(1)求证:BM平面PAD;(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.答案:(1)是的中点,取PD的中点,则,又四边形为平行四边形,(4分) (2)以为原点,以、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图,则,在平面内设, 由 由 是的中点,此
4、时(8分) (3)设直线与平面所成的角为,设为 故直线与平面所成角的正弦为(12分)解法二: (1)是的中点,取PD的中点,则,又四边形为平行四边形,(4分) (2)由(1)知为平行四边形,又 同理, 为矩形 ,又 作故交于,在矩形内, 为的中点当点为的中点时,(8分) (3)由(2)知为点到平面的距离,为直线与平面所成的角,设为,直线与平面所成的角的正弦值为点评:(1)证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可;(2)求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线,斜线和射影所成的角,即为所求角;(3)证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明
5、显地体现出来3.如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.()求与底面所成角的大小;()求证:平面;()求二面角的余弦值. 解析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法,比较好的方法是向量法 答案:(I)取DC的中点O,由PDC是正三角形,有PODC又平面PDC底面ABCD,PO平面ABCD于O连结OA,则OA是PA在底面上的射影PAO就是PA与底面所成角ADC=60,由已知PCD和ACD是全等的正三角形,从而求得OA=OP=PAO=45PA与底面ABCD可成角的大小为45 6分(II)由底面ABCD为
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