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圆锥曲线中的轨迹问题
1. 以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点A(1，0)和定直线l：x=2的距离之比为12的点的轨迹方程是x24+y23=1；
②点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A(3，6)，则|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ>0)的点的轨迹是圆；
④若动点M(x，y)满足(x-1)2+(y+2)2=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线；
⑤若过点C(1，1)的直线l交椭圆x24+y23=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命题的序号是______ .(写出所有真命题的序号)

2. 已知圆C：(x+1)2+y2=8，点A(1，0)，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

3. 已知椭圆的中心在原点，左焦点为F1(-3，0)，且右顶点为D(2，0).设点A的坐标是(1，12)
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

4. 已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(-2，0)，B(2，0)，直线PA，PB的斜率分别是 k1，k2且k1⋅k2=-14．(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON(O为坐标原点)，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM⋅kBN=-14，证明直线l过定点，并求出这个定点．

5. 已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B(1，0)，M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)若直线y=k(x-1)与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 已知动点P与双曲线x2-y23=1.的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1|⋅|PF2|的最大值为9．(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A，B是曲线E上相异两点，点M(0，2)满足AM=λMB，求实数λ的取值范围．

7. 如图，椭圆x2+y24=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为25，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)求点M的纵坐标yM的取值范围；
(3)是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．

8. 已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上下焦点分别为F1，F2，离心率为12，P为C上动点，且满足F2P=λPQ(λ>0)，|PQ|=|PF1|，△QF1F2面积的最大值为4．
(Ⅰ)求Q点轨迹E的方程和椭圆C的方程；
(Ⅱ)直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M，N两点，求S△F 1MN的取值范围．

9. 已知F1(-2，0)，F2(2，0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．
(i)无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
(ii)在(i)的条件下，求△MPQ面积的最小值．

10. 在四边形ABCD中，已知A(0，0)，D(0，4)点B在x轴上.BC//AD，且对角线AC⊥BD．
(1)求点C的轨迹T的方程；
(2)若点P是直线y=2x一5上任意一点，过点p作点C的轨迹T的两切线PE、PF、E、F为切点.M为EF的中点.求证：PM//Y轴或PM与y轴重合：
(3)在(2)的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是.请说明理由．

11. 设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，32)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．

12. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c，0)、F2(c，0)，离心率为12，椭圆上的动点P到直线l：x=a2c的最小距离为2，延长F2P至Q使得|F2Q|=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足PT⋅TF1=0．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点T的轨迹C的方程；
(3)求证：过直线l：x=a2c上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．

13. 已知圆A：(x+1)2+y2=494，圆B：(x-1)2+y2=14，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，
(1)记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；
(2)M､N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M⊆N的一点，求证kPM.kPN为定值；
(3)过B点作两条互相垂直的直线l1，l2分别交曲线C于E､F､G､H，求四边形EGFH面积的取值范围．

14. 已知两个定点A1(-2，0)，A2(2，0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值m4(m≠0)．
(1)求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
(2)若m=-3，过点F(-l，0)的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点.记△GFD的面积为Sl，△OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得Sl=S2？说明理由．

15. 已知动点Q与两定点(-2，0)，(2，0)连线的斜率的乘积为-12，点Q形成的轨迹为M．
(Ⅰ)求轨迹M的方程；
(Ⅱ)过点P(-2，0)的直线l交M于A、B两点，且PB=3PA，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C、D两点，过C、D两点分别作CE、DF垂直x轴于E、F两点，求四边形CEFD面积的最大值．

16. 如图，动点M与两定点A(-1，0)、B(1，0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．
(Ⅰ)求轨迹C的方程；
(Ⅱ)设直线y=x+m(m>0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求|PR||PQ|的取值范围．

17. 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
(1)写出C的方程；
(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时OA⊥OB？

18. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图
(1)求菜地内的分界线C的方程；
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值．

19. 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0，且m≠1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
(I)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析
【答案】
1. ②⑤  
2. 解：(Ⅰ)∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=22，∴|CQ|+|QA|=22>|CA|=2．
∴曲线E是以坐标原点为中心，C(-1，0)和A(1，0)为焦点，长轴长为22的椭圆．
设曲线E的方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)．
∵c=1，a=2，∴b2=2-1=1．
∴曲线E的方程为x22+y2=1．
(Ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立y=kx+mx22+y2=1消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0．
此时有△=16k2-8m2+8>0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，.
∴|MN|=1+k2⋅(-4km1+2k2)2-4×2m2-21+2k2=1+k21+2k2⋅8(2k2-m2+1)
∵原点O到直线l的距离d=|m|1+k2-，
∴S△MON=12|MN|⋅d=21+2k2．m2(2k2-m2+1)，由△>0，得2k2-m2+1>0．
又m≠0，
∴据基本不等式，得S△MON=21+2k2．m2(2k2-m2+1)≤21+2k2⋅m2+2k2-m2+12=22，
当且仅当m2=2k2+12时，不等式取等号．
∴△MON面积的最大值为22．  
3. 解：(1)∵a=2，c=3，∴b=a2-c2=1.∴椭圆的标准方程为：x24+y2=1．
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，点A的坐标是(1，12)，线段PA的中点M，
由中点坐标公式，得x=x0+12y=y0+122，
∴x0=2x-1y0=2y-12，又∵x024+y02=1，
∴(2x-1)24+(2y-12)2=1，即为中点M的轨迹方程．  
4. 解：(1)由题意得yx+2⋅yx-2=-14，(x≠±2)，即x2+4y2=4(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程是x24+y2=1(x≠±2)．
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立y=kx+mx2+4y2=4，化为(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
∴△=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=16(1+4k2-m2)>0．
∴x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2．
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
①若OM⊥ON，则x1x2+y1y2=0，∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)(4m2-4)1+4k2-8k2m21+4k2+m2=0，化为m2=45(1+k2)，此时点O到直线l的距离d=|m|1+k2=255．
②∵kBM⋅kBN=-14，∴y1x1-2⋅y1x1+2=-14，
∴x1x2-2(x1+x2)+4+4y1y2=0，
∴x1x2-2(x1+x2)+4+4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
代入化为4m2-4-8km(4km-2)1+4k2+4m2+4=0，化简得m(m+2k)=0，解得m=0或m=-2k．
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点(2，0)，此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点(0，0)．  
5. 解：(Ⅰ)圆A：(x+1)2+y2=16，圆心A(-1，0)，由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4>|AB|=2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程C：x2a2+y 2b2=1，则2a=4，2c=2，
所以a2=4，b2=3，所以曲线C：x24+y 23=1．
(Ⅱ)设存在点R(t，0)满足题设，联立直线y=k(x-1)与椭圆方程x24+y 23=1消y得
(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则由韦达定理得x1+x2=8k24k2+3①，x1x2=4k2-124k2+3②，
由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，
即y1x1-t+y2x2-t=0，即x1y2+x2y1-t(y1+y2)=0，
即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0③，
把①、②代入③并化简得(t-4)k4k2+3=0，即(t-4)k=0④，
所以当k变化时④成立，只要t=4即可，
所以存在定点R(4，0)满足题设．  
6. 解：(1)双曲线x2-y23=1的焦点F1(-2，0)．
设已知定值为2a，则|PF1|+|PF2|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点，长轴长为2a的椭圆．
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．
∵|PF 1|⋅|PF 2|≤(|PF 1|+PF 22) 2=a2，
∴a2=9，b2=a2-c2=5，
∴动点P的轨迹E的方程x29+y25=1；
(II)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点M(0，2)满足AM=λMB，得：
-x1=λx2-2-y1=λ(y2+2)且M，A，B三点共线，设直线为l，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-2，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得：
(5+9k2)x2-36kx-9=0，根据根与系数的关系得：
x1+x2=36k5+9k  2，x1x2=-95+9k 2，
将x1=-λx2，代入，消去x2，得：(1-λ) 2λ=144k 25+9k 2，
化得：(1-λ) 2λ=144k 25+9k 2=1445k 2+9
∴0<(1-λ) 2λ< 16，
解之得：实数λ的取值范围为[9-45，9+45].  
7. 解：(1)由题意，a=1，c=5，b=2，
∴双曲线Γ的方程x2-y24=1；
(2)由题意，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线AP的方程y=k(x+1)(0<k<2)，代入椭圆方程，整理得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0
∴x=-1或x2=4-k24+k2，
∴Q(4-k24+k2，8k4+k2)，M(-k24+k2，4k4+k2)
∴yM=4k4+k2=4k+4k在(0，2)上单调递增，∴yM∈(0，1)
(3)由题意，kAP⋅kBP=y11+x1⋅y11-x1=4，
同理kAP⋅kOM=-4，
∴kOM+kBP=0，
设直线OM：y=k'x，则直线BP：y=-k'(x-1)，解得x=12，
∵kOM+kBP=0，∴直线BP与OM关于直线x=12对称．  
8. 解：(Ⅰ)由椭圆定义得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a，
所以点Q的轨迹是以F2为圆心，2a为半径的圆.(1分)
当QF2⊥F1F2时△QF1F2面积最大，所以12⋅2c⋅2a=4得：ac=2(2分)
又ca=12可得a=2，c=1.               (3分)
所以Q点轨迹E的方程x2+(y+1)2=16，椭圆C的方程y24+x23=1(5分)
(Ⅱ)由y=kx+my24+x23=1得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0△=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0
化简得：3k2-m2+4=0(7分)
所以，k2=m2-43
由k2=m2-43≥0及m>0得，m≥2
(8分)
设圆心F2(0，-1)到直线MN的距离为d，则d=|m+1|1+k2=3(m+1)m-1
所以，弦长          |MN|=216-d2=213m-19m-1(9分)
设点F1(0，1)到直线MN的距离为h，则h=|m-1|1+k2=3(m-1)m+1(10分)
所以，S△F 1MN=12|MN|⋅h=3(13m-19)m+1=39-96m+1
由m≥2，得：39-96m+1∈[7，39)
所以，S△F 1MN的取值范围为[7，39).             (12分)  
9. 解：(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，
由c=2，2a=2，∴b2=3，
故轨迹E的方程为x2-y23=1(x≥1).--(3分)
(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0，∴k2-3≠0△>0x1+x2=4k2k2-3>0x1⋅x2=4k2+3k2-3>0，解得k2>3--(5分)
(i)∵MP⋅MQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=(k2+1)(4k2+3)k2-3-4k2(2k2+m)k2-3+m2+4k2=3-(4m+5)k2k2-3+m2．…(7分)∵MP⊥MQ，∴MP⋅MQ=0，
故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立，
∴1-m2=0m2-4m-5=0，解得m=-1.∴当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P(2，3)，Q(2，-3)及M(-1，0)知结论也成立，
综上，当m=-1时，MP⊥MQ.--(8分)
(ii)由(i)知，M(-1，0)，当直线l的斜率存在时，|PQ|=1+k2|x1-x2|=61+k2k2-3，M点到直线PQ的距离为d，则d=3|k|1+k2
∴S△MPQ=12|PQ|d=9|k|1+k2k2-3=9(1+k2)k2k2-3=9(1+k2)k2(k2-3)2--(10分)
令k2-3=t(t>0)，则S△MPQ=912t2+7t+1，因为1t>0
所以S△MPQ=912t2+7t+1>9--(12分)
当直线l的斜率不存在时，S△MPQ=12⋅3⋅6=9--(13分)
综上可知S△MPQ≥9，故S△MPQ的最小值为9.--(14分)  
10. 解：(1)设点C(x，y)(x≠0，y≠0)，则B(x，0)，
∴AC=(x，y)，BD=(-x，4)．
∵AC⊥BD，∴-x2+4y=0，即y=14x2(x≠0)．
∴点C的轨迹T是去掉顶点的抛物线．
(2)对函数y=14x2求导得，y'=12x．
设切点(x0，14x02)，则过该切点的切线的斜率为12x0．
∴切线方程为y-14x02=12x0(x-x0)．
设点P(t，2t-5)，由于切线经过点P，∴2t-5-14x02=12x0(t-x0)．
化为x02-2tx0+8t-20=0．
设点E(x1，14x12)，F(x2，14x22)．
则x1，x2是方程x2-2tx+8t-20=0的两个实数根，
∴x1+x2=2t，x1x2=8t-20．
∴xM=x1+x22=t．
因此当t=0时，直线PM与y轴重合；
当t≠0时，直线PM与y轴平行．
(3)∵yM=12(14x12+14x22)=18[(x1+x2)2-2x1x2]
=18[4t2-2(8t-20)]=12t2-2t+5．
∴点M(t，12t2-2t+5)．
又∵kEF=14x12-14x22x1-x2=14(x1+x2)=14×2t=12t．
∴直线EF的方程为：y-(12t2-2t+5)=12t(x-t)，即t(x-4)+10-2y=0.(*)
∴当x=4，y=5时，方程(*)恒成立．
∴对任意实数t，直线EF恒过定点(4，5)．  
11. 解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.…(2分)
又点A(1，32)在椭圆上，因此122+(32)2b2=1得b2=3，于是c2=1.…(4分)
所以椭圆C的方程为x24+y23=1，…(5分)
焦点F1(-1，0)，F2(1，0).…(7分)
(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x=-1+x12，y=y12，即x1=2x+1，y1=2y.…(11分)
因此(2x+1)24+(2y)23=1.即(x+12)2+4y23=1为所求的轨迹方程.…(15分)  
12. (1)解：依题意，∵椭圆离心率为12，椭圆上的动点P到直线l：x=a2c的最小距离为2，
∴ca=12a2c-a=2，…(2分)
∴c=1a=2，∴b2=a2-c2=3 …(3分)
∴椭圆的方程为x24+y23=1   …(4分)
(2)解：设点T的坐标为(x，y)．
当P，T重合时，点T坐标为(2，0)和点(-2，0)，…(5分)
当P，T不重合时，由PT⋅TF1=0，得PT⊥TF1.…(6分)
由|F2Q|=2a及椭圆的定义，|PQ|=|QF2|-|PF2|=2a-|PF2|=|PF1|，…(7分)
所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点
在△QF1F2中，OT=12|F2Q|=a=2，…(8分)
所以有x2+y2=4．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=4.…(9分)
(3)证明：直线l：x=a2c与x2+y2=4相离，过直线上任意一点M(4，t)可作圆x2+y2=4③的两条切线ME，MF  …(10分)
所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…(11分)
其方程(x-2)2+(y-t2)2=4+(t2)2④…(12分)
EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4x+ty-4=0       …(13分)
显然无论t为何值，直线EF经过定点(1，0).…(14分)  
13. 解：(1)设动圆圆心D(x，y)，半径为r，由动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得DA+DB=4，(2分)
则D是以AB为焦点的椭圆，a=2，c=1，b=3，所以曲线C的方程为x24+y23=1.--3分
(2)由题意可得，M(-2，0)，N(2，0)，设P(x0，y0)，则有x024+y023=1，
那么kPM⋅kPN=y0x0+2⋅y0x0-2=y02x02-4=-34---------(6分)
(3)(Ⅰ)当l1、l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1⊥x轴，则l2与x轴重合.则EF=3，MN=4，
所以S四边形EGFH=12EF⋅GH=6.--------------------------(7分)
(Ⅱ)当l1、l2的斜率均存在时，不妨设l1的斜率为k(k≠0)，则l2的斜率为-1k，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，
因为B(1，0)，所以联立直线方程和椭圆方程，
有l1：y=k(x-1)x24+y23=1⇒(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，得x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，------(8分)
所以EF=1+k2|x1-x2|=12(1+k2)3+4k2将k换为-1k，有x3+x4=83k2+4，x3x4=4-12k23k2+4，GH=12(k2+1)3k2+4，
则SEGFH=12EF⋅GH=72(1+k2)2(3+4k2)(3k2+4)，-----------------(10分)
设t=1+k2，则t>1，那么SEGFH=72t2(4t-1)(3t+1)=72t212t2+t-1=72-(1t-12)2+494
当t=2，即k=±1时，SEGFH取最小值28849，当t→+∞时，SEGFH→6．
综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为[28849，6].----------------------(12分)  
14. 解：(1)设动点M(x，y)，依题意有yx-2⋅yx+2=m4，(m≠0)，
整理，得x24-y2m=1，m≠2．
∴动点M的轨迹方程为x24-y2m=1，x≠±2．
m>0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
m∈(-4，0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
m=-4时，轨迹是圆，
m∈(-∞，-4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1(-2，0)，A2(2，0)不在曲线上．
(2) m=-3时，动点M的轨迹方程为x24+y23=1( x≠±2)，
假设垂直直线AB，使Sl=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，
∴直线AB的斜率存在且不为0，
设AB方程为y=k(x+1)，
代入x24+y23=1并整理得(3+4 k2) x2+8kk2 x+4k2-12=0
设A(xE1E，yE1E)，B(xE2，yE2)，
则xE1E+xE2=-8k23+4k2，yE1E+yE2=6k3+4k2，

则G(-4k23+4k2，3k3+4k2)，
∵DG⊥AB，
∴3k3+4k2-4k3+4k2-xD⋅k=-1，
解得xED=-k23+4k2，即D(-k23+4k2，0)，
∵△GFD～△OED，
∴S1S2=(|DG||OD|)2，
又Sl=S2，∴|DG|=|OD|，
∴(-k23+4k2--4k23+4k2)2+(3k3+4k2)2=|-k23+4k2|，
整理得8k2+9=0，
∵此方程无解，
∴不存在直线AB，使Sl=S2  
15. 解：(Ⅰ)设动点Q的坐标是(x，y)，由题意得yx+2⋅yx-2=-12(x≠±2)，
化简，整理得x22+y2=1
故Q点的轨迹方程是x22+y2=1(x≠±2)；
(Ⅱ)设直线方程为x=my+n，代入椭圆方程可得(m2+2)y2+2mny+n2-2=0，
△=8(m2-n2+2)
设直线l与曲线M的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y1+y2=-2mnm2+2①，y1y2=n2-2m2+2②，
∵PB=3PA，∴y2=3y1，③
n=-2时，由①②③可得m=±2，满足△>0．
不妨取m=2，则y1+y2=-23n，y1y2=n2-26，
由已知及△>0，可得2<n2<6，
∵|x1-x2|=2|y1-y2|=212-2n23，
∴S=12|y1+y2||x1-x2|=229n2(6-n2)≤229×62=223，
当且仅当n2=3时等号成立，
∴四边形CEFD面积的最大值为223．  
16. 解：(Ⅰ)设M(x，y)，则kMA=yx+1，kMB=yx-1
∵直线MA、MB的斜率之积为4，
∴yx+1×yx-1=4
∴4x2-y2-4=0
又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点M的轨迹方程为4x2-y2-4=0(x≠±1)
(Ⅱ)直线y=x+m与4x2-y2-4=0(x≠±1)联立，消元可得3x2-2mx-m2-4=0①
∴△=16m2+48>0
当1或-1是方程①的根时，m的值为1或-1，结合题设(m>0)可知，m>0且m≠1
设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，
∵|PQ|<|PR|，∴xR=m+2m2+33，xQ=m-2m2+33，
∴|PR||PQ|=-xRxQ=-m+2m2+33m-2m2+33=1-21-21+3m2
∵m>0且m≠1
∴1+3m2>1，且1+3m2≠4
∴1<1-21-21+3m2<3，且1-21-21+3m2≠53
∴|PR||PQ|的取值范围是(1，53)∪(53，3)  
17. 解：(1)由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中c=3，a=2，所以b2=a2-c2=4-(3)2=1．
故轨迹C的方程为：y24+x2=1；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)
由y=kx+1y24+x2=1⇒(kx+1)2+4x2=4，即(k2+4)x2+2kx-3=0
由△=16k2+48>0，可得：x1+x2=-2kk2+4x1x2=-3k2+4，
再由OA⊥OB⇔OA⋅OB=0⇔x1x2+y1y2=0，
即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0，
所以-3(k2+1)k2+4-2k2k2+4+1=0，k2=14⇒k=±12．  
18. 解：(1)设分界线上任意一点为(x，y)，由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，得y=2x，(0≤x≤1)，
(2)设M(x0，y0)，则y0=1，
∴x0=y024=14，
∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．  
19. 解：(I)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|
∴x0=x，|y0|=1m|y|①
∵点A在圆上运动，∴x02+y02=1②
①代入②即得所求曲线C的方程为x2+y2m2=1(m>0，m≠1)
∵m∈(0，1)∪(1，+∞)，
∴0<m<1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(-1-m2，0)，(1-m2，0)
m>1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，-m2-1)，(0，m2-1)
(Ⅱ)如图2、3，∀x1∈(0，1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(-x1，-y1)，N(0，y1)，
∵P，H两点在椭圆C上，∴m2x12+y12=m2 ①m2x22+y22=m2 ②
①-②可得(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=-m2③
∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴2y1x1=y1+y2x1+x2
∴kPQ⋅kPH=y1(y1-y2)x1(x1-x2)=-m22
∵PQ⊥PH，∴kPQ⋅kPH=-1
∴-m22= -1
∵m>0，∴m=2
故存在m=2，使得在其对应的椭圆x2+y22=1上，对任意k>0，都有PQ⊥PH

【解析】
1. 解：①平面内到定点A(1，0)和定直线l：x=2的距离之比为12的点的轨迹方程是x24+y23=1，显然不正确，因为(2，0)在直线x=2上；
②点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A(3，6)，则|PA|+|PM|的最小值是6；因为(3，6)在抛物线的内部，所以正确；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ>0)的点的轨迹是圆，λ=1时是直线，所以不正确；
④若动点M(x，y)满足(x-1)2+(y+2)2=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线，显然不正确，因为不满足双曲线的定义；
⑤若过点C(1，1)的直线l交椭圆x24+y23=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0，满足题意，正确．
故答案为：②⑤
①求出平面内到定点A(1，0)和定直线l：x=2的距离之比为12的点的轨迹方程，即可判断x24+y23=1的正误；
②确定点A(3，6)的位置，即可判定|PA|+|PM|的最小值是6是否正确；
③找出反例即可否定平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ>0)的点的轨迹是圆；
④利用双曲线的第二定义判断：若动点M(x，y)满足(x-1)2+(y+2)2=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线是否正确；
⑤若过点C(1，1)的直线l交椭圆x24+y23=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，求出直线l的方程是否为3x+4y-7=0，即可判定正误．
本题是中档题，考查圆锥曲线的基本性质，轨迹方程的求法，综合能力比较强，知识面比较宽，常考题型．
2. (1)根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．
(2)联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．
本题主要考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决本题的关键.，运算量较大，有一定的难度．
3. (1)利用椭圆的中心在原点，左焦点为F1(-3，0)，且右顶点为D(2，0).求出椭圆的几何量a，b，即可得到椭圆方程．
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，点A的坐标是(1，12)，线段PA的中点M，转化求解代入椭圆方程即可得到M的轨迹方程．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．
4. (1)利用斜率计算公式即可得出；
(2)把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，①利用OM⊥ON⇔x1x2+y1y2=0即可得到k与m的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明；
②利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出k与m的关系，进而证明结论．
本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、OM⊥ON⇔x1x2+y1y2=0、点到直线的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力．
5. (Ⅰ)求出圆心A(-1，0)，通过|NM|=|NB|，推出点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程，求出a，c，即可求解椭圆方程．
(Ⅱ)设存在点R(t，0)满足题设，联立直线y=k(x-1)与椭圆方程x24+y 23=1消y得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，利用韦达定理，通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零，得到x1y2+x2y1-t(y1+y2)=0，即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0，推出t=4存在定点R(4，0)满足题设．
本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力．
6. (1)先由双曲线的方程得到两焦点，设已知定值为2a，则|PF1|+|PF2|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点，长轴长为2a的椭圆.利用待定系数法结合基本不等式即可求得椭圆的方程；
(2)设所求直线l的方程：y=kx-2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得实数λ的取值范围
，从而解决问题．
本小题主要考查圆锥曲线的轨迹问题、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题．
7. (1)求由题意，a=1，c=5，b=2，即可双曲线Γ的方程；
(2)yM=4k4+k2=4k+4k在(0，2)上单调递增，即可求点M的纵坐标yM的取值范围；
(3)求出kOM+kBP=0，可得直线BP与OM关于直线x=12对称
本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．
8. (Ⅰ)由椭圆定义得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|