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专题讲练5 圆与相似（一）——求线段的长度

【例1】如图，已知AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC．AB交
于D．E两点，过D 点作DF⊥AC，垂足为F。
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明。
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，
①求BD的长；②求AC的长。

证：（1）证∠OBD＝∠ODB＝∠ACB，OD//AC，∠ODF＝，∴DF与⊙O相切。
（2）①；②；证四边形ODFG为正方形，，
证ΔCDF∽ΔBED，，∴。证ΔOBD∽ΔABC，∴。

【例2】已知: 如图, 在△ABC中, AB＝AC, AE是角平分线, BM平分∠ABC交AE于点M, 经过B．M两点的⊙O交BC于点G, 交AB于点F, FB恰为⊙O的直径.
(1) 求证: AE与⊙O相切;
(2) 当BC＝4, cos C＝时, 求⊙O的半径.
证：（1）连结OM，证 , ∥.易证

（2），证, ，
设⊙的半径为r，则。
证∽。，。 解得。

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，D是AC的中点，⊙O经过A．B．D三点，
CB的延长线交⊙O于E。
（1）求证：AE=CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm。
求⊙O的直径。

证：(1)连ED，证ED垂直平分AC，∴AE=CE
(2)证ED2＝AD·DF=2×4=8, ED=，AE=

2．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP·AD。
（1）求证：AB=AC
（2）如果∠ABC=600，⊙O的半径为1，
且P为弧AC的中点，求线段AD的长。

证：(1)ΔABP∽ΔADB，∠APB＝∠ABC＝∠ACB，ΔABC为等腰Δ。
(2)ΔABC为等边Δ，∠APB＝60°，∠ABP＝∠CBP＝30°，
∠BAP＝，故BP为⊙O的直径，BP＝2，PA＝1，
AB＝，AD＝

3．如图，直线MN交⊙O于A．B两点，AC是直径。AD平分∠CAM，交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E点。
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径。

证：（1）连OD．DC，证∠DAE＝∠OAD＝∠ODA，OD//AE；
（2）；易求，证ΔADE∽ΔACD，
，∴AC＝15，

K
4．如图，已知⊙O的直径AB=4。过B点作⊙O的切线MN，D．C是⊙O上的两点，连接AD．BD．CD和BC。
（1）求证：∠CBN=∠CDB；
（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=150，求DC的长。

证：（1）连AC，∠CDB＝∠CAB，∠CAB+∠CBA＝，∠CBN+∠CBA＝，
　∴
（2）作CK⊥AD于K，证＝∠CAB＝∠CBA，∠CAD＝，，
，证CK＝DK，,∴

5．如图，AB为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点T，过A点作AC⊥PQ于C点，交⊙O于D点。
（1）求证：AT平分∠BAC
（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径。

证：（1）连OT，OT//AC，∠OAT＝∠OTA＝∠TAC
（2）连BD，BD//TC，OT⊥BD，BD＝2CT＝，
AB＝，R＝2

6．如图，AB．BC．CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，连接OB．OC，
延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N点。
（1）求证：MN是⊙O的切线。
（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长。

证：（1）证∠ABC+∠BCD＝，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO
∠CBO+∠BCO＝＝∠BOM＝∠CMN
（2）连OF，，
证ΔCOB∽ΔCMN，
即

7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE=CF。
（1）求证：DE是⊙O的切线。
（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长。

证：（1）连OC，
∴∥，∴
（2），，
证ΔAEC∽ΔACB，,∴

8．如图，AB．AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，
交⊙O于点E，交AC于点F。点P为ED延长线上一点，连PC。
（1）若PC与⊙O相切，判断△PCF的形状，并证明。
（2）若D为弧AC的中点，且，DH=8，求⊙O的半径。
证：（1）连OC，∠OCA＝∠OAC，∠OCA+∠PCF＝，∠PFC+∠OAC＝，
∠PCF＝∠PFC，
（2）设，则，证，则，

9．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，CD=BD。过D点作DE⊥AC，垂足为E点，延长DE交
BA的延长线于 P点。
（1）求证：DE为⊙O的切线。
（2）若AB=6，AD=，求PE的长。
证：（1） 证，∠ODE＝∠DEC＝
（2）证ΔAED∽ΔADB，，
ΔPEA∽ΔPDO，

10．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A．B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts。
（1）求PQ的长。
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
证：（1）PQ＝8cm
（2）或，分两种情况：
①直线AB与⊙O第一次相切时，设切点为F，则PA＝5t,PB＝4t，
，又∠P公共，
∴ΔPAB∽ΔPOQ，，易证四边形OFBQ为正方形，QB＝8－4t＝OQ＝6，
②直线AB与⊙O第二次相切时，同理可得，QB＝4t-8=OQ=6，
11．如图在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过D点作DE⊥DB交AB于点E。
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线。
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值。

证： (1)证∠DBC=∠DBO=∠ODB,OD//BC, ∴∠ODA＝∠C＝90°。
(2)9；证∠EFB＝90°＝∠C，EF//AC，ΔBEF∽ΔBAC，
易求AB=15，设EF＝4x，BF＝3x,则EB＝5x，OD＝
证ΔOAD∽ΔBAC，，∴，EF＝4x＝9
12．如图，BC为⊙O的直径，点F在⊙O上，∠FCA=∠FOC，CD=AD，AB交⊙O点E.
（1）求证：CA为⊙O的切线；
（2）若EF=1.5，CF=2，BE=4，求⊙O的半径.
证：(1) 略 (2) 连CE, ∵△BCF∽△BCD,
∴①证，△BEF∽△BAD, ∴②

又AD=CD, 由①、②可得, ∴BC=, ∴R=.