辽宁省大连市2016年中考数学真题及答案.doc

2016年辽宁省大连市中考数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．﹣3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
2．在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．方程2x+3=7的解是（　　）
A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=2
4．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是（　　）

A．40° B．70° C．80° D．140°
5．不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣2＜x＜1
6．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（　　）
A．100（1+x） B．100（1+x）2C．100（1+x2） D．100（1+2x）
8．如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中尺寸单位：cm）（　　）

A．40πcm2B．65πcm2C．80πcm2D．105πcm2

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
9．因式分解：x2﹣3x=　　　　　　．
10．若反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），则k的值为　　　　　　．
11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=　　　　　　．

12．下表是某校女子排球队队员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
1
1
7
3
则该校女子排球队队员的平均年龄是　　　　　　岁．
13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是　　　　　　．

14．若关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　．
15．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为　　　　　　海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是　　　　　　．

三、解答题：本大题共4小题，17、18、19各9分20题12分，共39分
17．计算：（ +1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
18．先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．
19．如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．

20．为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分
分组
家庭用水量x/吨
家庭数/户
A
0≤x≤4.0
4
B
4.0＜x≤6.5
13
C
6.5＜x≤9.0

D
9.0＜x≤11.5

E
11.5＜x≤14.0
6
F
x＞4.0
3
根据以上信息，解答下列问题
（1）家庭用水量在4.0＜x≤6.5范围内的家庭有　　　　　　户，在6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是　　　　　　%；
（2）本次调查的家庭数为　　　　　　户，家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是　　　　　　%；
（3）家庭用水量的中位数落在　　　　　　组；
（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数．

四、解答题：本大题共3小题，21、22各9分23题10分，共28分
21．A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．
22．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．

五、解答题：本大题共3小题，24题11分，25、26各12分，共35分
24．如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长是　　　　　　；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是　　　　　　；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

2016年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．﹣3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【解答】解：（﹣3）+3=0．
故选C．
【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．

2．在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点（1，5）所在的象限是第一象限．
故选A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

3．方程2x+3=7的解是（　　）
A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=2
【考点】一元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：2x+3=7，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
故选D
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

4．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是（　　）

A．40° B．70° C．80° D．140°
【考点】平行线的性质．
【分析】先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∵∠ACD=40°，
∴∠BAC=180°﹣40°=140°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°，
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，比较简单；做好本题要熟练掌握两直线平行①内错角相等，②同位角相等，③同旁内角互补；并会书写角平分线定义的三种表达式：若AP平分∠BAC，则①∠BAP=∠PAC，②∠BAP=∠BAC，③∠BAC=2∠BAP．

5．不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣2＜x＜1
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＞﹣2，
解②得x＜1，
则不等式组的解集是：﹣2＜x＜1．
故选D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

6．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号的积小于4的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于4的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号的积小于4的概率是： =．
故选C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（　　）
A．100（1+x） B．100（1+x）2C．100（1+x2） D．100（1+2x）
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x），五月份的产量是100（1+x）2，据此列方程即可．
【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，
故选：B．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．

8．如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中尺寸单位：cm）（　　）

A．40πcm2B．65πcm2C．80πcm2D．105πcm2
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为8cm，底面半径为10÷2=5cm，
故表面积=πrl+πr2=π×5×8+π×52=65πcm2．
故选：B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
9．因式分解：x2﹣3x=　x（x﹣3）　．
【考点】因式分解-提公因式法．
【专题】因式分解．
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．
【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．
故答案为：x（x﹣3）
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．

10．若反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），则k的值为　﹣6　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（1，﹣6）代入反比例函数y=，求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，﹣6），
∴k=1×（﹣6）=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=　　．

【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根据勾股定理即可求出BD．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD===．
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键．

12．下表是某校女子排球队队员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
1
1
7
3
则该校女子排球队队员的平均年龄是　15　岁．
【考点】加权平均数；频数与频率．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
（13×1+14×1+15×7+16×3）÷12=15（岁），
即该校女子排球队队员的平均年龄为15岁．
故答案为：15．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．

13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是　24　．

【考点】菱形的性质．
【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，再利用菱形面积求法得出答案．
【解答】解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=4，
∴BO==3，
故BD=6，
则菱形的面积是：×6×8=24．
故答案为：24．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确求出BD的长是解题关键．

14．若关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　a＞﹣　．
【考点】根的判别式；解一元一次不等式．
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，
∴△=12﹣4×2×（﹣a）=1+8a＞0，
解得：a＞﹣．
故答案为：a＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是找出1+8a＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（不等式组或方程）是关键．

15．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为　11　海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB=≈11．
【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°，
∴PC=PA=×18=9，
在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°，
∴PB=≈≈11，
答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．
故答案为11．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是　（﹣2，0）　．

【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，可得A点坐标．
【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，
设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得
=，
解得x=﹣2，
即A点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．

三、解答题：本大题共4小题，17、18、19各9分20题12分，共39分
17．计算：（ +1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】本题涉及平方差公式、零指数幂、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（ +1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
=5﹣1+1﹣3
=2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方差公式、零指数幂、三次根式等考点的运算．

18．先化简，再求值：（2a+b）2﹣a（4a+3b），其中a=1，b=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4a2+4ab+b2﹣4a2﹣3ab=ab+b2，
当a=1，b=时，原式=+2．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．

【考点】平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键．

20．为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分
分组
家庭用水量x/吨
家庭数/户
A
0≤x≤4.0
4
B
4.0＜x≤6.5
13
C
6.5＜x≤9.0

D
9.0＜x≤11.5

E
11.5＜x≤14.0
6
F
x＞4.0
3
根据以上信息，解答下列问题
（1）家庭用水量在4.0＜x≤6.5范围内的家庭有　13　户，在6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是　30　%；
（2）本次调查的家庭数为　50　户，家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是　18　%；
（3）家庭用水量的中位数落在　C　组；
（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【分析】（1）观察表格和扇形统计图就可以得出结果；（2）利用C组所占百分比及户数可算出调查家庭的总数，从而算出D组的百分比；（3）从第二问知道调查户数为50，则中位数为第25、26户的平均数，由表格可得知落在C组；（4）计算调查户中用水量不超过9.0吨的百分比，再乘以小区内的家庭数就可以算出．
【解答】解：（1）观察表格可得4.0＜x≤6.5的家庭有13户，6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比为30%；
（2）调查的家庭数为：13÷26%=50，
6.5＜x≤9.0 的家庭数为：50×30%=15，
D组9.0＜x≤11.5 的家庭数为：50﹣4﹣13﹣6﹣3﹣15=9，
9.0＜x≤11.5 的百分比是：9÷50×100%=18%；
（3）调查的家庭数为50户，则中位数为第25、26户的平均数，从表格观察都落在C组；
故答案为：（1）13，30；（2）50，18；（3）C；
（4）调查家庭中不超过9.0吨的户数有：4+13+15=32，
=128（户），
答：该月用水量不超过9.0吨的家庭数为128户．
【点评】本题考查了扇形统计图、统计表，解题的关键是要明确题意，找出所求问题需要的条件．

四、解答题：本大题共3小题，21、22各9分23题10分，共28分
21．A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，可以设出甲、乙的速度，然后根据题目中的关系，列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时，

解得，x=60，
则x+30=90，
即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，发现题目中的数量关系，列出相应的方程．

22．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），E点的坐标为（m，），可得两点间的距离为d=，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，
∴A（，0），B（，0）；
令x=0，则y=，
∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；

（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），
∴E点的坐标为（m， m），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为（，）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．

23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到结论；
（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦且角动量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD==3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，
∴∠BOD=∠A，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠BOD+∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，
∵DE与⊙O相切，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠AFC=∠DBF，
∵∠AFC=∠DFB，
∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH=BH=BF=1，则FH=1
，∴HD==3，
在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，
即（OD﹣1）2+32=OD2，
∴OD=5，
∴⊙O的半径是5．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

五、解答题：本大题共3小题，24题11分，25、26各12分，共35分
24．如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长是　3　；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由图象即可解决问题．
（2）分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．
②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．
③如图3中，根据S=CD•CM，求出CM即可解决问题．
【解答】解；（1）由图象可知BC=3．
故答案为3．
（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，
由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，
∴AB==，
∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，
∴△BMD∽△BCA，
∴==，
∴DM=，BM=，
∵BD=DF，DM⊥BF，
∴BM=MF，
∴S△BDF=x2，
∵EG∥AC，
∴=，
∴=，
∴EG=（x+2），
∴S四边形ECAG= [2+（x+2）]•（1﹣x），
∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣x2﹣ [2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣x2+x+．
②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，
在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，
∴x2=22+（3﹣x）2，
∴x=，
∴当1＜x≤时，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2，
③如图3中，当＜x≤3时，
∵DM∥AN，
∴=，
∴=，
∴CM=（3﹣x），
∴S=CD•CM=（3﹣x）2，
综上所述S=．

【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题．

25．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；
（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；
（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．
【解答】证明：（1）如图2，

作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=BC，
∴BC=2AE，
故答案为AAS
（2）如图3，

连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，
∴AD=CD，
∵点E是DC中点，
∴DE=CD=AD，
∴tan∠DAE===，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=，
∴，
∴CG=×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∵CD=AC，CE=CD=AC，
∴，
∴AC=4；
∴AB=4；
（3）如图4，

过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG=a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．
∴BH=a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2a（k+1），
∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN=ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC．
∴，
∴，
∴NE=3ak（2k+1），
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），
∴=．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，中点的定义，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是　（0，）　；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；
（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；
（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A，
∴A（0，），
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA=，
∴OB=，即B点坐标为（0，），
故答案为：（0，）；
（2）∵B点坐标为（0，），
∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，
∴OC=﹣，
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，

则BD=OC=﹣，CD=OB=，
∴PD=PC﹣CD=m﹣，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，
即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，
∴PB+，
∴P点坐标为（﹣， +），
当x=﹣时，代入抛物线解析式可得y=+，
∴点P在抛物线上；
（3）如图2，连接CC′，

∵l∥y轴，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB=，则BC=1
∴OC=，即P点的横坐标为，代入抛物线解析式可得y=（）2+=1，
∴P点坐标为（，1）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．