中考初三圆知识点专题复习.doc

一、圆中重要的知识点
1、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（　　）．
　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　B．过弦的中点的直线必过圆心
　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　D．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若，，求圆心到弦和的距离.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

例题3、度数问题
1、已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.

2、 已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。

例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
A
B
D
C
E
O

例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.

例题7、平行与相似
已知：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.

六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
【例1】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

【例2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长； （3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

【例3】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．

【例4】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴

例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分

利用切线性质计算线段的长度
例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长．

利用切线性质计算角的度数
例2：如图，已知：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数．

利用切线性质证明角相等
例3：如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠MCN=∠MDN．

利用切线性质证线段相等
例4：如图，已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．

利用切线性质证两直线垂直
例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：DE⊥AC．

十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
例1.如图，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3
例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4
例5.如图5，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。求证：BC＝2OE。

图5
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

1、如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A． cm B． cm C．cm D．1 cm

2、已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
　 A．3 B． 9 C． 18 D． 36
3、正三角形、正方形、圆三者的周长都等于，它们的面积分别为S1，S2、S3，则( )．
A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S1＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S2＜S1＜S3

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
3 .圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：

1．如图，AB切⊙O于点B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（ ）．
A． C
B
A
O
B． C． D．

2、如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（　　）．
A． B． C． D．
A
E
B
D
C
F
P

3．如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；
（2）圆锥的全面积．

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