中考数学-二次函数存在性问题-及参考答案.doc

中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题
1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.
所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D.
（1）写出的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、二次函数中面积的存在性问题
3.如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
x
y
C
B
_
D
_
A
O

4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，
其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）
(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，请说明理由。

三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，
抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;

O
C
B
A
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题
7．如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
y
A
B
C
O
x

六、二次函数中菱形的存在性问题
8．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴。
（2）由（1）得.
当时，． 解之，得　。
∴.
又当时，，
∴C点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D（－1，－4），
作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥ 轴于点F。易知
在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。
（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。
由△AOM∽ △ABC，得。即。
过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=，
OG=AO－AG=3－。又点M在第三象限，所以M（－，－）。

2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。
∴抛物线的解析式为。
（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，
则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。
∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。
故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。
（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（，），由题意知＞0，＞0，且，
①若△AMP∽△BOC，则。
即 +2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）．
当=时，=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，则，。
即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去）
当=3时，=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。
3、【答案】解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。
∴双曲线的解析式为：。
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n。∴n2＝1，∴n＝±1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。
把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。
∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×5×6＝15。
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下：
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：，且CD∥AB，
∴可设直线CD解析式为，
把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。
∴直线CD相应的一次函数是：。
解方程组，解得，。
∴点D的坐标为（3，18）。

4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得：；故为所求
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，，
故BD的解析式为；令则，故
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
图3
易知BN=MN=1， 易求
；设，
依题意有：，即：
解之得：，，故符合条件的P点有三个：

5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如图：
ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则有：m2﹣2m﹣2=，
解得：m1=，m2=，
∴P1（，），P2（，），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）
则有：n2﹣2n﹣2=﹣，
解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），
∴P3（，），
综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

6.解：（1）∵当=0时，=3
当=0时，=﹣1
∴（﹣1，0），（0，3）
∵（3，0）··························1分
设抛物线的解析式为=a（+1）（﹣3）
∴3=a×1×（﹣3）
∴a=﹣1
∴此抛物线的解析式为=﹣（ + 1）（﹣3）=- +2+3·····2分
（2）存在
∵抛物线的对称轴为：==1···············4分
∴如图对称轴与轴的交点即为Q
∵=，⊥
∴=
∴（1，0）··························6分
当=时，设的坐标为（1，m）
∴2+m=1+（3﹣m）
∴m=1
∴（1，1）··························8分
当=时，设（1，n）
∴2+n=1+3
∵n＞0
∴n=
∴（1，）
∴符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，）·10分
7、答案：[解] (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个
方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，
∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。
AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。
(2) 点D的坐标为(，1)。
(3) 存在。由(1)知，AC^BC。
y
A
B
C
O
x
P
j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，
把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，
∴直线AP的解析式为y= -x-。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
y
A
B
C
O
P
x
∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，
x2= -(舍去)。当x=时，y= -，∴点P(，-)。
k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x+1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代
入直线BP的解析式，求得b= -4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线
上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，
即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。
当x= -时，y= -9，∴点P的坐标为(-，-9)。
综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。
8．解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=3 即B（﹣2，3）
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上
∴，
解得：．
∴设抛物线的解析式为．

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴，
若S△ADP=S△ADC，
∵，，
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C（0，1），
∴OC=1，
∴，即或，
解得：．
∴点P的坐标为 ．

（3）结论：存在．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时DM1=AE=，
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，
∴t1=4﹣；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，
∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，
∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴，即，得M4E=，
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，
∴M4F=DM4+DF=+5=，
∴t4=．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．

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