小学数学典型应用题行程问题.doc

14
典型应用题--行程问题
行程问题经典题型（一）
1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？

　　2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？

　　3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

　　　　4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？

　　　　5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？

　　6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？

　7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？

　8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？

　　9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？

　　10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？

　　11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？

　　12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

　　13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几时几分？

　　14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？

　　15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。

行程问题（二）
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
　　距离=速度×时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
　　总量=每个人的数量×人数.
　　工作量=工作效率×时间.
　　因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
　　当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
　　这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
一、追及与相遇
　　有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，
　　甲走的距离-乙走的距离
　　= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
　　=（甲的速度-乙的速度）×时间.
　　通常，“追及问题”要考虑速度差.
　　例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

　　例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？

　　例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？

　　例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

　　下面讲“相遇问题”.
　　小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
　　甲走的距离+乙走的距离　=甲的速度×时间+乙的速度×时间　=（甲的速度+乙的速度）×时间.
　　“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
　　例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？

　　例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.

　　例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.

　　例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

　　问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
　　（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

二、环形路上的行程问题
　　人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.
　　例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
　　（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？
　　（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

　　例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

　　例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

　　例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

　　例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？

　　例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

　　例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求

三、稍复杂的问题
　　在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：
　　（1）在行程中能设置一个解题需要的点； （2）灵活地运用比例.
　　例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

　　例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？

　　　例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？

　　例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.

　　例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的1/3处（从甲方到乙方向的1/3处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？

　　例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？

行程问题（一）（基础篇）
行程问题的基础知识以及重要知识点★提到行程问题就不得不说3个行程问题中一定会用到的数——s,t,v
   s ——路程
   t ——时间
   v ——速度
这3个数之间的关系就是：路程=速度X时间 —— s= vt
同时可以得出另外两个关系：速度=路程÷时间—— v= s/t
时间=路程÷速度—— t= s/v
我们来看几个例子：
例1，一个人以5米/秒的速度跑了20秒，那么他跑了多远？

例2 ，从A地到B地的直线距离是100米，有一个人从A地到B地去，每秒走2米，那么他需要多久可以到达B地？

例3，小明从家上学的路程是500米，他只用了10分钟就走到了学校，那么他走路的速度是多少？

    以上是学习行程问题必须要懂的基本知识。
  在上面的内容中所提到的行程问题都是速度不变的情况，那么如果在走的过程中速度发生了改变，那么我们就不能再用 s=vt来解决了。
  变速的过程中一个重要的知识点就是 —— 平均速度
  平均速度=总路程÷总时间
  平均速度的计算方法和平均数不同，我们不可以将各个不同的速度加在一起取平均值。
例4，某货车往返于相距60千米的AB两地之间，从A地到B地时速度是6千米/小时，从B地返回时，速度是12千米/小时，那么货车往返的平均速度是多少？

  在上一道题目中，如果将AB两地之间的距离改成120千米，那么平均速度变成了多少呢？

  我们发现，在这个过程中路程变成了2倍，但是平均速度没有变化，同学们试下将总路程改成其他数字，再计算一次平均速度。
  结论：往返运动中，平均速度不受总路程影响，之跟往返的速度有关。

  于是这道题目可以改成：
  例5，某货车往返于AB两地之间，从A地到B地时速度是6千米/小时，从B地返回时，速度是12千米/小时，那么货车往返的平均速度是多少？

小结： 行程问题的基础，重点是懂得行程问题中三个量的关系、以及理解平均速度的概念。
行程问题（二）（知识篇）

本贴主要针对行程问题中最常用的相遇与追及问题进行讲解
★相遇问题
   学了一个人的行程问题之后我们就可以开始说一下两个人的相遇问题.(当然也包括两辆车,飞机之类),第一种形式就是相遇问题,相遇问题的主要公式就是: 路程=时间X速度和
---------- s= t (v1+v2)
例1,甲乙二人分别从AB两地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,经过20秒后两人相遇,那么AB两地的距离是多少?

例2,甲乙二人分别从相距180米的AB两地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,过了多久两人相遇?

例3,甲乙二人分别从相距180米的AB两地相向而行,经过20秒后两人相遇,甲的速度是5米/秒,那么乙的速度是多少?

例4,甲乙两人同时从某地出发,甲以每秒5米的速度向东走,乙用每秒4米的速度向西走,那么20秒之后两人相距多远?

例5，甲乙二人在距离200米的AB两地，向对方所在的地方走去，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，那么10秒后两人的距离是多远？

★追及问题
    追及问题就是两人同向而行，一个人从后面追上另一人的过程，它的公式是：
      路程=时间X速度差----s=t(v1-v2)
    变形公式： t=s/(v1-v2)；  v1-v2=s/t (在这个公式中,当我们知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度)
     实际上在相遇问题与追及问题中，唯一的区别就是两人的速度不再是求和而是求差，两人的行进方向不再是相向，而是同向。
例6，甲乙二人沿着一条公路跑步，甲以5米/秒的速度追赶前方30米处以2米/秒的速度跑步的乙，他需要多少时间可以追上乙？

例7，甲乙两人同时同向从同地出发，甲的速度是5米/秒，乙的速度是2米/秒，那么过了10秒后，两人的距离是多少？

行程问题（三）（提高篇1）
本贴主要针对行程问题中错车问题（火车过桥）问题进行讲解
★错车问题
例1，两列火车在两条平行的铁轨上相向行驶，它们的长度分别是40米和50米，速度分别是3米/秒和6米/秒，那么两车从车头相遇到车尾离开一共用了多久？

两车长度和=两车速度和×错车时间------- （l1+l2）=（v1+v2）×t 两车速度和=两车长度和÷错车时间------- （v1+v2）=（l1+l2）÷t
例2、甲乙两车在两条平行铁轨上相向行驶，他们的长度分别是40米和50米，甲车的速度是3米/秒，两车从车头相遇到车尾离开一共用了10秒，那么乙车的速度是多少？

★火车过桥问题
      火车过桥问题其实就是错车问题的一个特例，我们只需要把桥想象成一列火车，桥是不会动的，所以它的速度是0，于是公式就变成了
      （火车长+桥长）÷车速=时间    --------（l1+l2）÷v1=t   -（因为v2=0）

我们来做一下例题：
例3、一列100米长的火车过一座150米长的桥，火车的速度是25米/秒，它过桥需要多少时间？

例4、一列长100米的火车过一座桥，火车的速度是25米/秒，它过桥一共用了10秒，那么桥的长度是多少？

★追车问题
例5，两列火车在两条平行的铁轨上同向行驶乙车在前，甲车在后。两车的长度分别是甲车80米乙车50米，甲车的速度是35米/秒，乙车的速度是25米/秒，那么甲车从追上甲车到完全超过乙车需要多少时间？

总结一下这次的内容，我们一起学习了错车问题，火车过桥问题，追车问题。
错车问题和火车过桥问题是相遇问题，追车问题是追及问题。
据上一讲的结论，只要是两车相向行驶就是相遇，速度就求和；只要两车同向行驶就是追及，速度就求差。然后依据 路程=速度×时间 的关系即可以计算出问题的答案。
第 14 页 共 14 页