人教版数学必修4和必修5知识点总结.pdf
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1高中数学必修高中数学必修 4 第三章第三章 三角恒等变换知识点总结三角恒等变换知识点总结24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:;coscoscossinsincoscoscossinsin;sinsincoscossinsinsincoscossin ();tantantan1tantantantantan1tantan ()tantantan1 tantantantantan1 tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin12222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式,2cos21cos221 cos2sin2 22tantan21 tan26、(后两个不用判断符号,更加好用)27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 形式。,其中BxAy)sin(22sincossinAA tanA28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下:(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;242224;问:;2304560304515oooooo12sin12cos;)()4(24半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1 cos;2tan12tan2 sin:222万能公式2;等等)4()4()()(2(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:oo45tan90sincottancossin122(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有:;。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:;cos1(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。如:;_tan1tan1_tan1tan1;_tantan_tantan1;_tantan_tantan1 ;tan22tan1 ;oooo40tan20tan340tan20tan =;cossin =;(其中 cossinbatan;);cos1cos1(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。如:;)10tan31(50sinoo 。cottan必修必修 5 5 知识点总结知识点总结31、正弦定理:在中,、分别为角、的对边,为的外接圆的半径,CAabcACRCA则有2sinsinsinabcRCA2、正弦定理的变形公式:,;2 sinaRA2 sinbR2 sincRC,;sin2aRA sin2bR sin2cCR:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA(正弦定理主要用来解决两类问题:正弦定理主要用来解决两类问题:1 1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2 2、已知两角和一、已知两角和一边,求其余的量。边,求其余的量。)对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点:当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则 B 有两个解。法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况:当 absinA,则 B 无解当 bsinAb 时,B 有一解注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式:111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余弦定理:在中,有,CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC5、余弦定理的推论:,222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab(余弦定理主要解决的问题:余弦定理主要解决的问题:1 1、已知两边和夹角,求其余的量。、已知两边和夹角,求其余的量。2 2、已知三边求角、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状:设、是的角、的对边,则:若,则abcCAAC222abc;90C o若,则;若,则222abc90C o222abc90C o正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标A、B,DbsinAAbaCCABD4但不能到达,在岸边选取相距千米的 C、D 两点,3并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。本题解答过程略 附:三角形的五个“心”;重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.内心:三角形三内角的平分线相交于一点.垂心:三角形三边上的高相交于一点.数列基本概念数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:依定义域分为:有穷数列、无穷数列;依值域分为:有界数列和无界数列;依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);数列通项:奎 奎奎 奎 奎奎 奎()naf n2、等差数列、等差数列 1、定义 当,且 时,总有,d 叫公差。nN2n 1,()nnaadd常 2、通项公式 1(1)naand1)、从函数角度看 是 n 的一次函数,其图象是以点 为端点,斜率为 d 斜线上一些孤立1()nadnad1(1,)a点。2)、从变形角度看 ,即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。(1)()nnaand又,11(1),(1)nmaand aamd相减得,即.()nmaanm d()nmaanm d若 nm,则以 为第一项,是第 n-m+1 项,公差为 d;mana若 n0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“b 解的讨论;一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.0 0 0 二次函数cbxaxy2(0a)的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R的解集)0(02acbxax21xxxx 对于 a0(或)()(xgxf0);)()(xgxf 0(或)()(xgxf0)的形式,(2)转化为整式不等式(组)0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf12例题:求解不等式:11x 解:略例题:求不等式的解集。11xx3.含绝对值不等式的解法:基本形式:型如:|x|a (a0)的不等式 的解集为:|xaxa 型如:|x|a (a0)的不等式 的解集为:|,x xaxa 或变型:解得。其中-cax+bc 等价于不|(0)|axbc cxcaxbc 型的不等式的解集可以由等式组 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析:设 ax2+bx+c=0 的两根为,f(x)=ax2+bx+c,那么:、若两根都大于 0,即,则有0,0000 若两根都小于 0,即,则有0,0002(0)0baf 对称轴 x=2bayox对称轴 x=2baoxyoyx921125=10()f xy3o2x14若两根有一根小于 0 一根大于 0,即,则有0(0)0f若两根在两实数 m,n 之间,即,mn则有 02()0()0bmnaf mf n 若两个根在三个实数之间,即,mtn 则有()0()0()0f mf tf n。还有很多,见课件常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数例如:若方程有两个正实数根,求的取值范围。222(1)230 xmxmmm解:由型得000 2224(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm 或3m 所以方程有两个正实数根时,。3m 又如:方程的一根大于 1,另一根小于 1,求的范围。2210 xxm m解:因为有两个不同的根,所以由0(1)0f 2222(1)4(1)01110mm 552211mm 11m 35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 的不等式136、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组X=2banxmoyX=2bayomtnx1541、设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数ab2abababab42、均值不等式定理:若,则,即0a 0b 2abab2abab43、常用的基本不等式:;222,abab a bR22,2ababa bR;20,02ababab222,22ababa bR44、极值定理:设、都为正数,则有:xy若(和为定值),则当时,积取得最大值若(积为定值),则当xysxyxy24sxyp时,和取得最小值xyxy2p例题:已知,求函数的最大值。54x 1()4245f xxx解:,54x 450 x 由原式可以化为:1111()4552(54)3(54)3(54)31 3245545454f xxxxxxxxx 当,即时取到“=”号15454xx2(54)1x31(2xx,或舍去)也就是说当时有1x max()2f x- 配套讲稿:
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