2019年考研数学二真题及全面解析(Word版).pdf

超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.1/112019 年考研数学（二）真题年考研数学（二）真题及完全解析（及完全解析（Word 版）版）一、选择题选择题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1 1、当时，若与 是 同阶无穷小量，则（）0 x tanxxkxk、.、.、.、.A1B2C3D4【答案】.C【解析】因为，所以，选.3tan3xxx3k C2 2、曲线的拐点是（）3sin2cosyxxxx、.、.、.、.A,B0,2C,2D33,【答案】.C【解析】，令，解得或。cossinyxxx sinyxx sin0yxx 0 x x当时，；当时，所以是拐点。故选.x0y x0y,2C3 3、下列反常积分发散的是（）、.、.、.、.A0 xxe dxB20 xxedxC20tan1arxxdxxD201xdxx【答案】.D【解析】、，收敛；A00001xxxxxe dxxdexee dx 、，收敛；B222001122xxxedxedx、，收敛；C22200tan1arctan128arxxdxxx、，发散，故选。D2222000111(1)ln(1)1212xdxdxxxx D超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.2/114 4、已知微分方程的通解为，则依次为（xyaybyce12()xxyCC x ee,a b c）、.、.、.、.A1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4【答案】D D.【解析】由题设可知是特征方程的二重根，即特征方程为，1r 20rarb2(1)0r 所以。又知是方程的特解，代入方程的。故2,1ab*xye2xyyyce4c 选。D5 5、已知积分区域，,2Dx yxy221DIxy dxdy222sinDIxy dxdy，则（）2231 cosDIxydxdy、.、.、.、.A321IIIB213IIIC123IIID231III【答案答案】.A【解析解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。由，可得【画图发现包含在圆的内部】，2xy2222xy2xy2222xy令，则，于是有，从而。22uxy02usinuu2222sinDDxy dxdyxy dxdy令，则，。在内单调减少，()1 cossinf uuu()sincosf uuu()04f()f u0,4在单调增加，又因为，故在内，即，,4 2(0)()02ff0,2()0f u 1 cossinuu从而。综上，选。2222sin(1 cos)DDxy dxdyxydxdyA6、设函数的二阶导数在处连续，则是两条曲线，(),()f x g xxa2()()lim0()xaf xg xxa()yf x在对应的点处相切及曲率相等的（）()yg xxa、充分非必要条件.、充分必要条件.、必要非充分条件.、既非充分也非必要条ABCD超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.3/11件.【答案答案】.A【解析解析】充分性充分性：利用洛必达法则，由可得 2()()lim0()xaf xg xxa及，()()lim02()xafxg xxa()()lim02xafxgx进而推出，。由此可知两曲线在处有相同切()()f ag a()()fag a()()fag axa线，且由曲率公式可知曲线在处曲率也相等，充分性得证。3221()yKyxa必要性必要性：由曲线，在处相切，可得，；()yf x()yg xxa()()f ag a()()fag a由曲率相等，可知或。332222()()1()1()fag afag a()()fag a()()fag a 当时，所求极限()()fag a，而未必等于 0，因此2()()()()()()limlimlim()()2()2xaxaxaf xg xfxg xfxgxfaxaxa()fa必要性不一定成立。故选。A7、设是 4 阶矩阵，为的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有 2 个向量，则A*AA0Ax（）。*()r A、.、.、.、.A0B1C2D3【答案】.A【解析】因为方程组的基础解系中只有 2 个向量，所以，从而，0Ax 4()2r A()24 1r A 则0，故选。*()r AA8、设是 3 阶实对称矩阵，是 3 阶单位矩阵，若,且，则二次型的AE22AAE4A Tx Ax规范型为（）、.、.、.、.A222123yyyB222123yyyC222123yyyD222123yyy【答案】.C【解析】设是的特征值，根据得，解得或；又因为A22AAE2212，所以的特征值为 1，-2，-2，根据惯性定理，的规范型为。故选4A ATx Ax222123yyy超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.4/11。C二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.9、.20lim(2)xxxx【答案】。24e【解析】0222limln1(21)00lim(2)lim1(21)xxxxxxxxxxxxe.0212 lim2(1 ln2)24xxxxeee10、曲线在对应点处的切线在轴上的截距为 。sin1 cosxttyt 32ty【答案答案】.322【解析解析】斜率，切线方程为，截距为。32sin11costdytdxt 322yx 32211、设函数可导，则 。()f u2()yzyfx2zzxyxy【答案答案】.2yyfx【解析解析】，3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx 22zzyxyyfxyx1212、曲线的弧长为 lncos(0)6yxx【答案答案】1ln32【解析解析】2211tansecdsy dxxdxxdx66001secln(sectan)ln3.2sxdxxx1313、已知函数，则 21sin()xtf xxdtt10()f x dx 超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.5/11【答案答案】1(cos1 1)4【解析解析】设,则21sin()xtF xdtt 1111122200000111()()()()()222f x dxxF x dxF x dxx F xx dF x.211112222000011sin111()sincos(cos1 1)22244xx F x dxxdxxx dxxx 14、已知矩阵，表示元素的代数余子式，则 1100211132210034AijAija1112AA【答案答案】.4【解析解析】由行列式展开定理得1112110010001111112111211112101043221312103403400340034AAA 三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤.15、（本题满分（本题满分 10 分）分）已知函数，求，并求函数的极值2,0()1,0 xxxxf xxex()fx()f x【解析解析】当时，；当时，0 x 22 ln()xxxf xxe2()2(ln1)xfxxx0 x；()(1)xfxxe，即在处不可导22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxf xfxxxfxx()f x0 x 综合上述：；22(ln1),0()(1),0 xxxxxfxxex令得驻点；是函数的不可导点。()0fx1211,xxe 0 x()f x当时，；当时，；当时，；1x ()0fx10 x()0fx10 xe()0fx超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.6/11当时，；故是函数的极小值点，极小值为；是函数1xe()0fx11x 1(1)1fe 21xe的极小值点，极小值为；函数在处连续且有极大值21()efee()f x0 x(0)1f16、（本题满分（本题满分 10 分）分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx【解析解析】设 222236(1)(1)1(1)1xABCxDxxxxxxx（1）两边同乘以且令，可得；2(1)x1x 3B（2）两边同乘以且令，可得；xx 0AC（3）两边分别令，可得；解得。0 x 1x 63244ABDABCD2,2,1ACD 则，于是2222362321(1)(1)1(1)1xxxxxxxxx 2222362321(1)(1)1(1)1xxdxdxxxxxxxx。2223(1)32ln12ln1ln(1)111d xxxxxxCxxxx 17、（本题满分（本题满分 10 分）分）设函数是微分方程满足条件的特解()y x2212xyxyex(1)ye（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转()y x(,)|12,0()Dx yxyy xDx一周所形成的旋转体的体积【解析解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程由通解公式可得，222()22211()()()()22xxxxdxx dxy xeeedxCedxCexCxxg把初始条件代入，得，从而得到(1)ye0C 22().xy xxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVy xdxxe dxee1818、（本题满分、（本题满分 1010 分）分）设平面区域，计算二重积分22 34(,)|,()Dx yxy xyy22Dxydxdyxy超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.7/11【解析解析】显然积分区域关于轴对称，由对称性可得 ；Dy220Dxdxdyxy将化为极坐标，有，于是22 34()xyy20sinr23sin4222204sinDDxyydxdydxdydrdrxyxy.3352244441143 2sin(1 cos)cos22120dd 1919、（本题满分、（本题满分 1010 分）分）设是正整数，记为曲线与轴所形成图形nnSsin(0)xyexxnx的面积，求，并求nSlim.nnS【解析解析】当时，；当时，2,(21)xkksin0 x(21),(22)xkksin0 x 故曲线与轴之间图形的面积应表示为 sin(0)xyexxnx，(1)00sinsinnnkxxnkkSexdxexdx先计算，作变量替换，(1)sinkxkkbexdxuxk于是有 ()0sin()u kkbeukdu0sinkueeudu.001sinsincos2kukueeudueeuu12keeg所以 ，00(1)(1)(1)(1)(1)22(1)2(1)knnnnnkkkeeeeeeSbee因此 。(1)(1)1limlim2(1)2(1)nnnneeeSee20、（本题满分（本题满分 11 分）分）已知函数满足关系式求的值，(,)u x y222222330uuuuxyxy,a b使得在变换之下，上述等式可化为函数的不含一阶偏导数的等式(,)(,)ax byu x yv x y e(,)v x y【解析解析】在变换之下(,)(,)ax byu x yv x y e，(,)ax byax byuveav x y exx(,),ax byax byuvebv x y eyy超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.8/11，222222(,)ax byax byax byuvveaea v x y exxx；222222(,)ax byax byax byuvvebeb v x y eyyy把上述式子代入关系式，得到222222330uuuuxyxy22222222(43)(34)(223)(,)0vvvvababb v x yxyxy根据要求，显然当时，可化为函数的不含一阶偏导数的等式33,44ab(,)v x y21、（本题满分（本题满分 11 分）分）已知函数在上具有二阶导数，且，()f x0,1(0)0,(1)1ff，证明：（1）至少存在一点，使得；（2）至少存在一点10()1f x dx(0,1)()0f，使得(0,1)()2f 证明：（1）令，则，0()()xxf t dt10(0)0,(1)()1f x dx则由于在连续，则在上可导，且，则由拉格朗日中值定理，至()f x0,1()x0,1()()xf x少存在一点，使得，即；又因为，对在1(0,1)1()(1)(0)1 1()1f(1)1f()f x上用罗尔定理，则至少存在一点，使得；1,11(,1)(0,1)()0f（2）令，显然 在具有二阶导数，且2()()F xf xx()F x0,1211(0)0,(1)2,()1FFF 对分别在上用拉格朗日中值定理，()F x110,1至少存在一点，使得；11(0,)2111111()(0)11()10FFF至少存在一点，使得；21(,1)1211()(1)()11FFF 对在上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点，()()2F xfxx12,12(,)(0,1)超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.9/11使得，又因为，故211212111()()()0FFF()()2Ff()2f 22（本题满分（本题满分 11 分）分）已知向量组：；12321111,0,2443a 向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，12321011,2,3313aaaa并将用线性表示3123,【解析解析】向量组和向量组等价的充分必要条件是123123123123(,)(,)(,;,)rrr 1231232222111101111101(,;,)1021230110224433 130011 11aaaaaaaa （1）当时，显然，两个向量组1a 123123123123(,)(,)(,;,)2rrr 等价此时，123311111023(,;)0112011200000000 方程组的通解为，也就是112233xxx123231210 xxxkx，其中为任意常数；3123(23)(2)kkk k（2）当时，继续进行初等行变换如下：1a 12312322111101111101(,;,)0110220110220011 11001111aaaaaa 显然，当且时，1a 1a 123123123(,)(,;,)3rr 同时，也就123101101101,02202201111101001aaa 123(,)3r 超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.10/11是，两个向量组等价123123123123(,)(,)(,;,)3rrr 这时，可由线性表示，表示法唯一：3123,3123（3）当时，,此时两个向量组不等价.=1a123123111101,011022000220 综上所述，综上所述，当向量组和向量组等价时，。1a 23、（本题满分（本题满分 11 分）分）已知矩阵 与 相似，22122002Ax21001000By（I）求；（II）求可逆矩阵，使得.,x yP1P APB【解析解析】（I）由于与相似，根据矩阵相似必要条件，有，AB()()ABtr Atr B即，解得。2(24)2222 1xyxy 3,2xy（II）矩阵是上三角矩阵，易得的特征值为。又因为与相似，所以的特征BB2,1,2 ABA值也是。2,1,2 对于矩阵对于矩阵：解方程组，可得属于特征值的A()0(1,2,3)iEA xi12,21,32 线性无关的特征向量为：，1(1,2,0)T2(2,1,0)T3(1,2,4)T 对于矩阵对于矩阵：解方程组，可得属于特征值的B()0(1,2,3)iEB xi12,21,32 线性无关的特征向量为：，1(1,0,0)T2(1,3,0)T 3(0,0,1)T令，则有1123(,)P 2123(,)P，即 ，111122212P APP BP112112P P APPB令 ，1112121110111212030212004001004PPP 超级狩猎者整理超级狩猎者整理 业精于勤荒于嬉.11/11则有，证毕。1P APB