北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合-(1).pdf
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1、智立方教育智立方教育 第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系1.一般地,用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式:方程表示是相等的关系,不等式表示是不相等的关系。3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于 0(0)0 和正数 不小于 0非正数 小于等于 0(0)0 和负数 不大于 0二.不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果 ab,那么 a+cb+c,a-cb-c.(2)不等式的两边都乘以(或除
2、以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果 ab,并且 c0,那么 acbc,.cbca(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果 ab,并且 c0,那么 acb,那么 a-b 是正数;反过来,如果 a-b 是正数,那么 ab;如果 a=b,那么 a-b 等于 0;反过来,如果 a-b 等于 0,那么 a=b;如果 ab,那么 a-b 是负数;反过来,如果 a-b 是正数,那么 ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb(或 ax0 时,解为;当 a=0 时,且 b0,则 x 取一切实数;当 a=0 时,且 b0,则abx 无解;当 a0 时,解为;abx
3、5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;设:设出适当的未知数;列:根据题中的不等关系,列出不等式;解:解出所列的不等式的解集;答:写出答案,并检验答案是否符合题意.例例 不等式 mxn(m0)的解集是()Axn/m B.当 m0 时,xn/m,当 m0 时,x-n/mCxn/m D当 m0 时,xn/m,当 m0 时,xn/mxaxbx2ax2-b例例 如果不等式(a+1)x(a+1)的解集为 x1,则 a 必须满足的的条件是:A
4、.a0 B.a-1 C.a-1 D.a-1例例 已知关于 x 的不等式(2ab)x+a5b 0 的解集为 x10/7,则 ax+b0 的解集为 例例 若不等式组 无解,则不等式组 的解集是 例例 水果店进了某中水果 1t,进价是 7 元/kg。售价定为 10 元/kg,销售一半以后,为了尽快售完,准备打折出售。如果要使总利润不低于 2000 元,那么余下的水果可以按原定价的几折出售?例例 某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原料的价格如下表:原料维生素 C 及价格甲种原料乙种原料维生素 C/(单位/千克)600100原料价格/(元/千克)84 现配制
5、这种饮料 10 千克,要求至少含有 4200 单位的维生素 C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 72 元,(1)设需用千克甲种原料,写出应满足的不等式组。xx(2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内?五.一元一次不等式组1.定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这x2m+1xm+2些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些
6、解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 abba两大取较大bxaxxaba两小取小bxaxaxbba大小交叉中间找bxax无解ba在大小分离没有解(是空集)例例 如果不等式组 的解集是 x-1,那么 m 的值为()A -3 B 3 C 1 D 3或-1例例 关于 x 的不等式组 有四个整数解,则 a 的取值范围是()A.-11/4a-5/2 B.-11/4a-5/2 C.11/4a-5/2 D.-11/4a-5/22x3(x-3)+1(3x+2)/4x+a第二章第二章 分解因式分解因式一.分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这
7、种变形叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.例例 下列各式中从左到右的变形,是因式分解的是()(A)(a+3)(a-3)=a2-9 (B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C)a2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+)x1二.提公因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:)(cbaacab2.概念内涵:(1)因式分解的最后结
8、果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:)(cbammcmbma3.易错点:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不能漏掉.例例 下列各式的因式分解中正确的是()(A)-a2+ab-ac=-a(a+b-c)(B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)(D)xy2+x2y=xy(x+y)212121分解因式分解因式 (1)a2(x-2a)2-a(2a-x)3 2141(2)-3ma3+6m
9、a2-12ma三.运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式:(1)平方差公式:)(22bababa(2)完全平方公式:222)(2bababa222)(2bababa3.因式分解要分解到底.如就没有分解到底.)(222244yxyxyx4.运用公式法:(1)平方差公式:应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号.(2)完全平方公式:应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方;还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.5.因式分解的思路与解题步骤:(1)
10、先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.例例 下列多项式中不能用平方差公式分解的是()(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2例例 下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是()(A)(B)(C)(D)412mm222yxyx224914baba13292nn例例 将 xn-yn分解因式的结果为(x2+y
11、2)(x+y)(x-y),则 n 的值为 .例例 已知(4x+y-1)2+=0,求 4x2y-4x2y2+xy2的值.2xy例例 计算的值是 )1011)(911()311)(211(2232L四.分组分解法:1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如:)()()(nmbanmbnmabnbmanam2.概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3.注意:分组时要注意符号的变化.第三章第三章 分式分式一.分式1.两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式 A
12、除以整式 B,可以表示成的形式.如果除式 B 中含有字母,那么称BA为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.BA2.整式和分式统称为有理式,即有:分式整式有理式3.进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.)0(,MMBMABAMBMABA4.一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.例例 下列代数式:;,其中整式有yxyx132xxx134xy14.3ba _,分式有_(只填序号).例例 分式当
13、 x _时分式的值为零,当 x _时分式392xx有意义.xx2121例例 如果,则=_.2ab2222aabbab二.分式的乘除1.分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即:,BDACDCBACBDACDBADCBA2.分式乘方,把分子、分母分别乘方.即:)(为正整数nBABAnnn逆向运用,当 n 为整数时,仍然有成立.nnnBABAnnnBABA3.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.例例 计算(1)(2)22221106532xyxyyxxxxxxx42232 三.分式的加减法1.分式与分数类似,也可以通
14、分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2.分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CBACBCA(2)异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBCADBDBCBDADDCBA3.概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.例 计算
15、(1)(2)mnnnmmmnnm2331xx四.分式方程1.解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;解这个整式方程;把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2.列分式方程解应用题的一般步骤:审清题意;设未知数;根据题意找相等关系,列出(分式)方程;解方程,并验根;写出答案.例例 解方程+114112xxx例例 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查,结果甲厂有 48件合格产品,乙厂有 45 件合格产品,甲厂的合格率比乙厂高 5%,求甲厂的合格率?第四章第四章 相似图形相似图形一.线段的比1.如果选用
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