高一数学函数解析式的七种求法.doc

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则

二、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2 已知 ，求 的解析式
解：，

三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式
解：设为上任一点，且为关于点的对称点
则，解得： ，
点在上

把代入得：

整理得

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
解 为偶函数，为奇函数，

又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据
例1、 求函数的值域
象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
解：由得：
（y-1）x2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：求函数的值域。
错解：原式变形为 （＊）
∵，∴，解得。
故所求函数的值域是
错因：把代入方程（＊）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。
正解：原式变形为 （＊）
（1）当时，方程（＊）无解；
（2）当时，∵，∴，解得。
综合（1）、（2）知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数的值域。
错解：将函数式化为
（1）当时，代入上式得，∴，故属于值域；
（2）当时， ，
综合（1）、（2）可得函数的值域为。
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。
三、注意变形后函数值域的变化
例3：求函数的值域。
错解：由已知得 ①，两边平方得 ②
整理得，由，解得。
故函数得值域为。
错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不可能为。∵时，，∴，故函数的值域应为。
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
例4：求函数的值域。
错解：令，则，∴，由及得值域为。
错因：解法中忽视了新变元满足条件。∴设，，，
。故函数得值域为。
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。