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高考复习之参数方程
一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
(t为参数)
(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是
(t不参数) ②
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是
｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
（t为参数）
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜
(4)若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.

2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆 椭圆(a＞b＞0)的参数方程是

(φ为参数)
椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是
(φ为参数)
3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式

三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：

（为参数）
则圆上点P坐标为(2+5cos，1+5sin)，它到所给直线之距离d=
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2 极坐标方程ρ=所确定的图形是（ ）
A.直线 B.椭圆 C.双曲 D.抛物线
解： ρ=
(三)综合例题赏析
例3 椭圆 （ ）
A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4 参数方程

A.双曲线的一支，这支过点(1，) B.抛物线的一部分，这部分过(1，)
C.双曲线的一支，这支过(-1，) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)
解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)
即y=x2(x＞0).
∴应选B.
例5 在方程(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )
A.(2,-7) B.（，） C.(，) D.(1，0)
解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2
将x=代入，得y=
∴应选C.
例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( )
A. B. C. D.

解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y==ctg2t==，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.
∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos()表示的曲线是( )
A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.
应选D.
例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( )
A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4 例9图
解：如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例10 4ρsin2=5 表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
解：4ρsin2=54ρ·
把ρ= ρcosθ=x，代入上式，得
2=2x-5.
平方整理得y2=-5x+.它表示抛物线.
∴应选D.
例11 极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是( )
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
解：由4sin2θ=3,得4·＝3,即y2=3 x2，y=±,它表示两相交直线.
∴应选B.

四、能力训练
(一)选择题
1.极坐标方程ρcosθ=表示( )
A.一条平行于x轴的直线 B.一条垂直于x轴的直线
C.一个圆 D.一条抛物线
2.直线：3x-4y-9=0与圆：的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：①θ=和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ρ2-9=0和ρ= 3；④

其中表示相同曲线的组数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是( )
A.重合 B.关于极点对称 C.关于直线θ= D.关于极轴对称
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是( )
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( )
A． B. C. D.
7.将参数方(m是参数，ab≠0)化为普通方程是( )
A. B.
C. D.
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( )
A.(1,),r=2 B.(1,),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1, -),r=2
9.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是( )
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方 程为( )
A.y-1= B.y= C.y-1= D.y+1=
11.若直线( (t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. 或 D. 或
12.已知曲线 (t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t 1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为( )
A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22) C.│2p(t1-t2)│ D.2p(t1-t2)2
13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向 B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω，逆时针方向
14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值是( )
A.5 B.10 C.2 D.3
15.直线ρ=与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是( )
A． B．
C． D．
(二)填空题
16.若直线l的参数方程为(t为参数)，则过点(4，-1)且与l平行的直线在y轴上的截距为
.
17.参数方程（为参数）化成普通方程为 .
18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是 .
19.直线(t为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .
(三)解答题
20.设椭圆(θ为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求点P的坐标.
21.曲线C的方程为(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
22.已知椭圆=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左 半部分交于C、D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.
(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2│·│F2H│成立的直线BD是否存在?并说明理由 .
(2)若点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
24.A，B为椭圆=1，(a＞b＞0) 上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.
25.已知椭圆=1，直线l∶=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且 满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.

参考答案
(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D
(二)16.-4；17.y２=-2(x-),(x≤);18.抛 物线；19.135°,|3t|
(三)20.()；21.
22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.(27-3)；24.Smax=，smax=;
25. =1(x,y)不同时为零)