高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结.doc

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结
一、角的概念和弧度制：
（1）在直角坐标系内讨论角：
角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：
②一些特殊角集合的表示：
终边在坐标轴上角的集合： ；
终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；
终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；
（3）区间角的表示：
①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；
第一、三象限角： ；
②写出图中所表示的区间角：
x
y
O
x
y
O

（4）由的终边所在的象限，通过 来判断所在的象限。
来判断所在的象限 ，判断2所在的象限

（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。
（6）弧长公式： ；半径公式： ；

扇形面积公式： ；
二、任意角的三角函数：
（1）任意角的三角函数定义：
以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ； ； ；
如：角的终边上一点，则 。注意r>0
（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
y
O
a

比较，，，的大小关系： 。
（3）特殊角的三角函数值：

0

sin

cos

三、同角三角函数的关系与诱导公式：
（1）同角三角函数的关系
平方关系：sin2+ cos2=1，
切化弦 =tan

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：
诱导公式可用概括为：
2K±,-,±,±,±的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数
作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤：
任意负角的
三角函数
任意正教的
三角函数
0o~360o角的
三角函数
求值
公式三、一
公式一
0o~90o角的
三角函数
公式二、
四、五、
六、七、
八、九

如，则 ， ； ；_________。
注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；
四、三角函数图像和性质
1．周期函数定义
定义  对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期．

请你判断下列函数的周期
y=tan x y=tan |x| y=|tan x|

注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．
结论：如函数对于，那么函数f(x)的周期T=2k; 如函数对于，那么函数f(x)的对称轴是
2．图像

3。图像的平移
对函数y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其图象的基本变换有：
(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．
(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．

(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

四、三角函数公式：
倍角公式
sin2=2sin·cos
cos2=cos2-sin2
=2cos2-1=1-2sin2

两角和与差的三角函数关系
sin()=sin·coscos·sin
cos()=cos·cossin·sin

积化和差公式
sin·cos=[sin(+)+sin(-)]
cos·sin=[sin(+)-sin(-)]
cos·cos=[cos(+)+cos(-)]
sin·sin= -[cos(+)-cos(-)]

半角公式
，
=

和差化积公式
sin+sin=
sin-sin=
cos+cos=
cos-cos= -
tan+ cot=
tan- cot= -2cot2
1+cos=
1-cos=
1±sin=()2
升幂公式
1+cos=
1-cos=
1±sin=()2
1=sin2+ cos2
sin=
降幂公式
sin2
cos2
sin2+ cos2=1
sin·cos=

三倍角公式：；；
五、三角恒等变换：
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。
②；问： ； ；
③；④；
⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：；；；
；；
；
= ；
（其中 ；）
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如： ； ；