高中数学(三角函数)练习题及答案.doc

第一章 三角函数

一、选择题

1．已知

为第三象限角，则

2
所在的象限是 (
) ．

A．第一或第二象限

B．第二或第三象限
C．第一或第三象限

D．第二或第四象限
2．若 sin θcos θ＞ 0，则 θ在 (

) ．

A．第一、二象限

B．第一、三象限
C．第一、四象限

D．第二、四象限
4π

5π
－
4π
＝ (
) ．

3． sin
cos
tan
3

3

6

3
3

3

3

C．－
3
3
A．－

B ．
4

4
D ．
4

4

1
＝ 2，则 sin θ＋ cos θ等于 (
) ．

4．已知 tan θ＋

tan

A． 2

B ． 2

C．－
2
D．± 2
5．已知 sin x＋ cos x＝
1 ( 0≤ x＜ π)，则 tan x 的值等于 (
) ．

5

A．－ 3

B．－ 4

C． 3

D ． 4
4

3

4

3
6．已知 sin

＞ sin
，那么下列命题成立的是
(
) ．

A．若 ，

是第一象限角，则

cos
＞ cos

B．若 ，

是第二象限角，则

tan
＞ tan

C．若 ，

是第三象限角，则

cos
＞ cos

D．若 ，

是第四象限角，则

tan
＞ tan

7．已知集合 A＝ { |

＝2kπ±
2π， k∈ Z } ， B＝ { |
＝ 4kπ± 2π， k∈Z } ， C＝

3

3
{ γ|γ＝kπ± 2π， k∈Z} ，则这三个集合之间的关系为 (
) ．

3

A．ABC

B．BAC
C．CAB
D．BCA
8．已知 cos(
＋ ) ＝ 1， sin
＝ 1 ，则 sin
的值是 (
) ．

3

第 1页共8页

A． 1

B．－ 1

C．2 2

D．－2 2

3

3

3

3

9．在 ( 0， 2π) 内，使 sin x＞ cos x 成立的 x 取值范围为 (
) ．

π π

5π

π

A．
，
∪ π，
4

B．
，π

4
2

4

π 5 π

π
∪
5π
3π

C．
，

D． ，π
，

4
4

4

4
2

10．把函数 y＝ sin x( x∈ R) 的图象上所有点向左平行移动
π个单位长度， 再把所得图象

3

上所有点的横坐标缩短到原来的
1 倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到的图象所表示的函数是 (
) ．

2

A． y＝ sin
2x － π ， x∈ R

B．y＝ sin
x ＋ π ， x∈R

3

2
6

C． y＝ sin
2x ＋ π ， x∈R

D． y＝ sin 2x＋ 2π ， x∈ R

3

3

二、填空题

11．函数 f( x) ＝ sin
2
x＋
3 tan x 在区间
π
π
上的最大值是
．

，
3

4

12．已知 sin ＝ 2

5 ， π≤ ≤ π，则 tan
＝

．

5
2

13．若 sin
π ＋

＝ 3
，则 sin π－
＝

．

2

5
2

14．若将函数 y＝ tan
x＋ π ( ω＞ 0)
的图象向右平移
π个单位长度后，与函数
y＝

4

6

tan x＋ π 的图象重合，则
ω的最小值为

．

6

15．已知函数 f( x) ＝ 1 ( sin x＋ cos x) － 1
2 2

| sin x－ cosx| ，则 f( x) 的值域是 ．

16．关于函数 f( x) ＝4sin 2x ＋ π ， x∈ R，有下列命题：
3
①函数 y = f( x) 的表达式可改写为 y = 4cos 2x － π ；
6

②函数 y = f( x) 是以 2π为最小正周期的周期函数；

③函数 y＝ f( x) 的图象关于点 ( － ， 0) 对称；

6

④函数 y＝ f( x) 的图象关于直线 x＝－ 对称．

6

其中正确的是 ______________．

第 2页共8页

三、解答题

17．求函数 f( x) ＝ lgsin x＋ 2 cos x 1 的定义域．

18．化简：

－ (

＋)＋(－)－(

＋ )

( 1)
sin 180

sin
tan 360

；
( ＋

)＋ (－)＋ (
－ )

tan

180

cos

cos180

( 2)
(
＋

) ＋
(
－

)

sin

nπ
sin

nπ ( n∈ Z ) ．

(
＋

)
(
－

)

sin

nπ cos

nπ

第 3页共8页

19．求函数 y＝ sin 2x－ π 的图象的对称中心和对称轴方程．
6

20．( 1) 设函数 f( x) ＝ sin x＋ a ( 0＜ x＜π) ，如果 a＞ 0，函数 f( x) 是否存在最大值和最
sin x

小值，如果存在请写出最大 (小)值；

( 2) 已知 k＜ 0，求函数 y＝ sin2 x＋ k( cos x－ 1) 的最小值．

第 4页共8页

参考答案

一、选择题

1．D

解析： 2kπ＋ π＜ ＜ 2kπ＋ 3 π， k∈ Z kπ＋
＜
2
＜ kπ＋ 3
π， k∈ Z．

2
2
4

2． B

解析：∵
sin θcos θ＞0，∴ sin θ， cos θ同号．

当 sin θ＞ 0， cos θ＞ 0 时， θ在第一象限；当
sin θ＜ 0， cos θ＜ 0 时， θ在第三象限．
3．A

解析：原式＝

4．D


π
π
π
＝－
3 3 ．
sin
cos
tan
3
6
3

4

解析： tan θ＋
1
＝ sin
＋ cos
＝
1
＝2， sin
cos ＝ 1 ．

tan
cos
sin

sin cos
2
( sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ 2sin θcos θ＝ 2． sin
＋ cos
＝± 2．

5． B

sin ＋ cos ＝ 1

x
x
得 25cos2 x－ 5cos x－ 12＝ 0．

解析：由

5

sin 2 x＋ cos2 x＝1

解得 cos x＝ 4 或－ 3 ．
5 5

又 0≤x＜ π，∴ sin x＞0．

若 cos x＝ 4 ，则 sin x＋ cos x≠ 1 ，
5 5
∴ cos x＝－ 3 ，sin x＝ 4 ，∴ tan x＝－ 4 ．

5
5
3

6．D

解析：若
，
是第四象限角，且 sin
＞ sin
，如图，

利用单位圆中的三角函数线确定 ， 的终边，故选 D．

(第6题`)

第 5页共8页

7． B

解析：这三个集合可以看作是由角± 2π的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到

3

的角的集合．

8． B

解析：∵ cos( ＋ ) ＝ 1，

∴ ＋ ＝ 2kπ， k∈ Z．

∴ ＝ 2kπ－ ．

∴ sin ＝sin( 2k
π－ ) ＝ sin( － ) ＝－ sin
＝－ 1
．

3

9． C

解析：作出在 ( 0， 2π) 区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标
和 5
，

4
4

由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．

10．C

解析：第一步得到函数
y＝ sin x
π
的图象，第二步得到函数

y＝ sin 2x
π

3

的图象．

3

二、填空题

11．
15 ．

4

2
x＋

3 tan x 在
π π
上是增函数，
f( x) ≤sin
2 π
＋ 3 tan
π
15
．
解析： f( x) ＝ sin

，
3
3
＝
4

4

3

12．－ 2．

解析：由 sin
＝ 2
5 ， π≤ ≤ π cos ＝－
5 ，所以 tan
＝－ 2．

5

2

5

13．
3 ．

5

解析： sin
π＋

＝ 3
，即 cos
＝ 3
，∴ sin
π－
＝ cos
＝ 3 ．

2

5

5

2

5

14．1．

2

解析：函数 y＝ tan

x＋ π ( ω＞ 0) 的图象向右平移
π个单位长度后得到函数

4

6

y＝ tan
x－
π
＋
π
＝ tan
π π

的图象，则
π
π
π

6
4
x＋ －
6

＝ －
ω＋ kπ( k∈ Z) ，

4

6
4
6

第 6页共8页

ω＝6k＋ 1
，又 ω＞ 0，所以当 k＝ 0
时， ωmin＝ 1
．
2

2

2

15． －1，．

2

解析： f( x) ＝ 1 ( sin x＋ cosx) －
1 | sin x－ cosx| ＝ cos x( sin x ≥ cos x)

2
2
sin x( sin x＜ cos x)

即 f( x) 等价于 min{ sin x， cos x} ，如图可知，

f( x) max＝ f
π ＝
2 ， f( x) min＝ f( π)
＝－ 1．

4
2

(第 15 题)

16．①③．

解析：①
f( x) ＝ 4sin 2x
π ＝ 4cos
π 2 x
π

3
2
3

π
＝ 4cos 2x
6

＝ 4cos 2x π ． 6

② T＝ 2π＝ π，最小正周期为 π．
2
③ 令 2x＋
π
时， x＝－
π，
＝ kπ，则当 k＝ 0

3

6

∴ 函数 f( x) 关于点 －
π
对称．

，0

6

④ 令 2x＋
π
π
x＝－
π
1
，与 k∈Z 矛盾．
＝ kπ＋
，当
时， k＝－
2

3
2

6

∴ ①③正确．

三、解答题

17． { x| 2kπ＜ x≤2kπ＋ ， k∈ Z } ．

4

sin

x

＞0

①

解析：为使函数有意义必须且只需

2cos x

1 ≥ 0
②

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(第 17题)

先在 [ 0， 2π) 内考虑 x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．

由①得 x∈( 0， π) ，

由②得 x∈ [ 0，
] ∪ [
7 π，2π] ．

4

4

二者的公共部分为

π

x∈ 0，
．

4

所以，函数 f( x) 的定义域为 { x| 2kπ＜ x≤ 2kπ＋

， k∈ Z} ．

4

18．(1) －1； (2) ±
2
．

cos

解析： ( 1) 原式＝ sin
－
sin

－
tan

＝－ tan
＝－ 1．

tan
＋ cos
－cos

tan

( 2) ①当 n＝ 2k， k∈ Z 时，原式＝ sin
(

＋
2
k
) ＋
sin
(
－

k

)
2

π ＝
．

(

π
)
－

2

＋

k

(

k

)
cos

sin

2
π cos

2

π

②当 n＝ 2k＋ 1， k∈ Z 时，原式＝ sin
[

＋(

＋ )
] ＋
sin
[

－( ＋)]
2
．

[

2 k

1
π

2k
1
π ＝－

sin
＋(

＋ ) ]

[

－( ＋)
]
cos

2 k
1
π cos

2 k
1 π

19．对称中心坐标为
kπ＋ π，0
；对称轴方程为

x＝ kπ＋ π( k∈ Z) ．

2

12

2

3

解析：∵ y＝ sin x 的对称中心是 ( kπ， 0) ， k∈ Z，

∴ 令 2x－ π＝ kπ，得 x＝ kπ＋ π．

6

2

12

∴ 所求的对称中心坐标为

又 y＝sin x 的图象的对称轴是

∴ 令 2x－ π＝ kπ＋ ，得
6 2

∴ 所求的对称轴方程为 x＝
kπ＋ π，0 ， k∈ Z．
2 12

x＝ kπ＋ ，

2
x＝ kπ＋ π．
2 3
kπ＋ π ( k∈ Z) ．
2 3

20． ( 1) 有最小值无最大值，且最小值为
1＋ a；( 2) 0．
解析： ( 1) f( x) ＝ sin x＋ a ＝ 1＋
a
，由 0＜ x＜ π，得 0＜ sin x≤1，又 a＞ 0，所以当
sin x
sin x

sin x＝ 1 时， f( x) 取最小值 1＋ a；此函数没有最大值．

( 2) ∵－ 1≤ cos x≤1， k＜ 0，

∴ k( cos x－ 1) ≥ 0，又 sin2 x≥ 0，

∴ 当 cos x＝ 1，即 x＝ 2k ( k∈ Z) 时， f( x) ＝ sin2 x＋ k( cos x－ 1) 有最小值 f( x) min＝ 0．

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