八年级数学下册《分组分解法》例题精讲与同步练习北师大版.doc

分组分解法例题精讲与同步练习【基础知识精讲】1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.例如：把x2-y2+ax+ay分解因式. 此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，后两项分为一组，得到：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据 分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意：1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a2-b2+1，在分解时，2ab-a2-b2+1=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b)【重点难点分析】1.重点难点分析重点：掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：分组后可继续分解.难点：是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：分组无固定的形式.2.典型例题解析例1 分解因式2a3+a2-6a-3分析 这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是21，三、四两项的系数之比也是21，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.解 2a3+a2-6a-3 =(2a3+a2)-(6a+3) =a2(2a+1)-3(2a+1) =(2a+1)(a2-3)例2 分解因式4x2-4xy+y2-16z2分析 这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.解 4x2-4xy+y2-16z2 =(4x2-4xy+y2)-16z2 =(2x-y)2-(4z)2 =(2x-y+4z)(2x-y-4z)例3 分解因式ax-ay-x2+2xy-y2分析 这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式(x-y)可提.解 ax-ay-x2+2xy-y2 =(ax-ay)-(x2-2xy+y2) =a(x-y)-(x-y)2 =(x-y)(a-x+y)例4 把(x2+y2-1)2-4x2y2分解因式解 (x2+y2-1)2-4x2y2 =(x2+y2-1)2-(2xy)2 =(x2+y2-1)+2xy(x2+y2-1)-2xy =(x2+2xy+y2)-1(x2-2xy+y2)-1 =(x+y)2-1(x-y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)例5 分解因式x(x-1)(x-2)-6分析 考虑去掉括号，重新分组.解 x(x-1)(x-2)-6 =x3-3x2+2x-6 =(x3-3x2)+(2x-6) =x2(x-3)+2(x-3) =(x-3)(x2+2)【难题巧解点拨】例6 分解因式a4+4分析 这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a4+4中项添上一项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a2和-4a2,则原多项式就变为a4+4a2+4-4a2四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.解 a4+4 =a4+4a2+4-4a2 (添拆项) =（a4+4a2+4）-4a2 (分组) =(a2+2)2-(2a)2 （完全平方公式） =(a2+2a+2)(a2-2a+2) (平方差公式)点评 本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.例7 已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2.分析 由已知条件，通过因式分解，可得到(x+5y)的值.从而可以化简所求代数式.解 由x2+10xy+25y2-1=0可得 (x+5y)2-1=0 即 (x+5y+1)(x+5y-1)=0 当x+5y+1=0时 x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=0 当x+5y-1=0时，即x+5y=1 x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=2x2【命题趋势分析】 熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.【典型热点考题】例8 把2x3+x2-6x-3分解因式. (沈阳中考题)解 2x3+x2-6x-3 =(2x3+x2)-(6x+3) =x2(2x+1)-3(2x+1) =(2x+1)(x2-3)例9 把abx2-aby2-a2xy+b2xy分解因式. (广州中考题)解 abx2-aby2-a2xy+b2xy =(abx2-a2xy)+(b2xy-aby2) =a(bx-ay)+by(bx-ay) =(bx-ay)(ax+by)点评 本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a2+ab. (长春中考题)解法一 xy-ax+bx+ay-a2+ab =(xy-ax+bx)+(ay-a2+ab) =x(y-a+b)+a(y-a+b) =(y-a+b)(x+a)解法二 xy-ax+bx+ay-a2+ab =(xy+ay)-(ax+a2)+(bx+ab) =y(x+a)-a(x+a)+b(x+a) =(x+a)(y-a+b)点评 本题共有六项，解法一分为两组：前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.【同步达纲练习】一、填空题(4分10=40分)1.x2+2y-y2+2x=(x+y)( ).2.因式分解x2+xy-3x-3y= .3.因式分解1-a2+2ab-b2= .4.因式分解x5+x4+x3+x2= .5.分解因式ax-ay+a2+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式a4b-a2b3+a3b2-ab4= .9.若a-b=2,a-c=4,则b2-2bc+c2+3(b-c)= .10.分解因式a2-b2+4a+2b+3= .二、分解因式（10分6=60分）11.ab+bc-cd-da 12.x3-xyz+x2y-x2z13.y2-x2+6x-9 14.x+2xy+y2-ax-ay15.6x(m-n)-2m+2n 16.4x2-4y2+4y-1参考答案：【同步达纲练习】一、1.(x-y+2) 2.(x+y)(x-3) 3.(1+a-b)(1-a+b) 4.x2(x+1)(x2+1) 5.(a+b)(x-y+a) 6.(a-x)(b+2y-3c) 7.(2y+1)(2x-1) 8.(ab(a-b)(a+b)2 9.10 10.(a+b+1)(a-b+3)二、11.原式=(a+c)(b-d) 12.原式=x(x+y)(x-z) 13.原式=(y+x-3)(y-x+3)14.原式=(x+y)(x+y-a) 15.原式=2(m-n)(3x-1) 16.原式=(2x+2y-1)(2x-2y+1)4