2017年徐汇区初三数学一模试卷及答案.doc

2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷及答案
初三数学　试卷 　 　 2017.1

（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．如果，那么下列各式中正确的是（ B ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．如果一斜坡的坡比是，那么该斜坡坡角的余弦值是（ D ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是
，那么原抛物线的表达式是（ C ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4．在中，点分别在边上，联结，那么下列条件中不能判断和相似的是( D )
（A）； （B）；（C）； （D） ．
5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是，那么此时飞机与监测点的距离是( C )
（A）米； （B）米； （C）米； （D）米．
6．已知二次函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是( A )
（A）； （B） ； （C）； （D）．

二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段，，如果线段是的比例中项，那么__6___．
8．点是线段延长线上的点，已知，=，那么____．
9．如图1，，如果，，，那么____．
10．如果两个相似三角形的对应中线比是，那么它们的周长比是_____．
11．如果点是线段的黄金分割点，那么请你写出一个关于线段
之间的数量关系的等式，你的结论是：__ __(答案不唯一)．
12．在中，，，垂足为，如果，，那
么的正弦值是______．
13．正方形的边长为，点在边的延长线上，联结交边于，如果，那么______．
14．已知抛物线与轴交于点，顶点的纵坐标是，那么______．
15．如图2，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线
间的距离都是，如果，那么的长是______．
16．在梯形中，，相交于，如果的面积分
别是和，那么梯形的面积是______．
17．在中，，，，是的平分线，将 沿直线翻折，点落在点处，那么的长是______．
图3
F

A

B

C

D

E

图2
A

B

C

D

A
B
C
D
E
F
图1
18．如图3，在□中，，点分别在边上，点是边的中点，，，过点分别作，垂足分别为，那么的值是______．

三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
解：原式

20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）
将抛物线沿轴向下平移9个单位，所得新抛物线与轴正半轴交于
点，与轴交于点，顶点为．
求：（1）点坐标；
（2）的面积．
解：（1）由题意，得新抛物线的解析式为，
∴可得、；
令，得，解得、；
∴点坐标是．
（2）过点作轴，垂足为．
∴

．

21．（本题共2小题，每题5分，满分10分）
图4
A

B

C

D

E

F

如图4，已知梯形中，，，，，平分，过点作，分别交于，设，=．
求：（1）向量（用向量、表示）；
（2）的值．

解：（1）∵∴；又平分∴；
∴；∴；
∵，，可得；
∴；∴．
∵，，∴四边形是平行四边形；
∴；
∴，；
∴．
（2）∵，；
∴∽；∴；
又，解得；
在中，，
∴；
∴．

22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）
如图5，一艘海轮位于小岛的南偏东方向、距离小岛海里的处，该海轮从处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛北偏东方向的处．
（1）求该海轮从处到处的航行过程中与小岛之间的最短距离（结果保留根号）；
图5
北

B

C

A

（2） 如果该海轮以每小时20海里的速度从处沿方向行驶，求它从处到达小岛的航行时间（结果精确到0.1小时）．
（参考数据：，）．

解：（1）过点作，垂足为．
由题意，得；
在中，，∴；
∴（海里）．
（2）在中，，，
∴；
∴ （海里）；
∴（小时）．
答：该海轮从处到处的航行过程中与小岛之间的最短距离是海里；
它从处到达小岛的航行时间约为小时．

23．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）
如图6，已知中，点在边上，，点在边上，满足
．
（1）求证：；
（2）如果点是延长线上一点，且是和的比例中项，联结．
求证：．
图6
A

B

C

D

E

23．证明：（1）∵，∴；
∵，∴；
∴；
∴．
（2）∵是和的比例中项，∴；
又，∴；
∴；
∵，∴；
∴∽；
∴；
∴．

24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）
如图7，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，直线和交于点．
（1）求点的坐标；
（2）联结，求的余切值；
（3）设点在线段延长线上，如果和相似，求点的坐标．
图7
D
x
y
O
B
A
C

E

解：（1）∵抛物线与轴交于点，∴；
又抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），
∵；∴；
∴，解得；
∴；∴．
（2）∵，∴；
∵，，∴；
∴；
∴．
（3）由，可得．在和中，，
，∴∽，∴；
又，
∴；
当和相似时，已可知；
又点在线段延长线上，，∴可得；
∴；
由题意，得直线的表达式为；设．
∴，解得，（舍去）；
∴点的坐标是．
25．（本题满分14分）
如图8，已知中，，，点是边上的动点，过点作，交边于点，点是线段上的点，且，联结并延长，交边于点．设，．
（1）求关于的函数解析式及定义域； （4分）
（2）当是等腰三角形时，求的长； （4分）
（3）联结，当和互补时，求的值． （6分）
B

A
C

备用图
图8
Q

P

D
B

A
C

E

解：（1）过点作．交于点．

Q

P

D
B

A
C

E

F
∴；又，∴；
∴；；
∵，∴；即，
∴；定义域为：．
（2）∵，∴∽；
∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形；
当时，∽；∴；
即，解得，∴，解得；
当时，；∴，；
当时，点与点重合，不合题意．
（3）∵，∴；又和互补，
∴；∴；∵，
∴四边形是等腰梯形；∴；∴；
又，∴；
∴∽；
∴：即，∴，；
∵，∴；即；
解得 ．

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