对2022年全国新高考数学Ⅱ卷第22题的探究.pdf

讲题比赛获奖论文之八:对 年全国新高考数学卷第 题的探究海南省昌江黎族自治县昌江中学廖明艳林瑞记浙江杭州优才教育科技有限公司李红庆摘要:年全国新高考数学卷试题总体设计角度新颖,将优秀的中华传统文化融合到试题当中,重点内容全面考查,难点内容注重选拔,压轴题较之往年更有难度,很好地考查了学生的综合能力高考是高中课堂教学的风向标,以 年新高考数学卷第 题为例,从一般的通性通法到秒杀解法,从不同的切入点探讨该题的解答,为解决此类导数题提供参考关键词:高考压轴题;导数;解法探究高考试题呈现(年全国新高考数学卷第 题)已知函数f(x)xea xex()当a时,讨论f(x)的单调性;()当x时,f(x),求a的取值范围;()若nN,证明:nn l n(n)此题第()问难度较小易求解笔者重点阐述第()()问的解题方法与逻辑分析这两问考查学生证明不等式的综合能力,证明过程中会用到相关函数的性质,甚至需要学生自行构造新的函数,再推导题目中的不等式成立第()问的解法探析针对第()问,具体解答思考过程的思维导图如图所示:图对于()问,先 将 原 不 等 式 等 价 变 形 转 化 为h(x)xea xex在(,)上恒成立,然后寻找每一步 成 立 的 充 分 条 件注 意 到h(),寻 求h(x)(a x)ea xex在(,)上恒成立,且易知h(),继续寻求h(x)a(a x)ea xex在(,)上恒成立,注意到h()a,即得a解法:探求充分性,证明必要性(i)若h(x)xea xexh()在(,)上恒成立,只需h(x)(a x)ea xexh()在(,)上恒成立,只需h(x)a(a x)ea xexh()a在(,)上恒成立,即得a所以“a”是“x,h(x)恒成立”的充分条件(i i)当a时,h(x)(a x)ea xexea x(a x)e(a)x设(x)a xea()x,则 有(),(x)a(a)ea()x令(x),得xal naa所以,(x)在(,al naa)上单调递增,故存在x(,al naa),使得h(x)ea xx()命题考试试题研究 年 月上半月e(),不符合题意(i i i)当a时,存在x,使得h()eae,也不符合题意由(i i)(i i i)知“a”也是“x,h(x)恒成立”的必要条件综上所述,实数a的取值范围是,解法:当x时,f(x)xea xexea xexxa x l n(ex)l nx设h(x)l n(ex)l nxa x(x),则h(x)exexxaexx(a)因为exx,所以exx(i)当a时,h(x)exx(x)exxx(ex)令(x)(x)exx,则(x)(x)ex,从而(x)xex,故(x)在(,)上单调递增所以,当x时,(x)(),即(x)在(,)上单调递增,则(x)(),即h(x),从而h(x)在(,)上单调递增因此,当x时,h(x)h()故“a”是“当x时,f(x)恒成立”的充分条件(i i)当a时,因为exxx,所以h(x)(a)xxx(a)xaxxaa当x,aa时,h(x)所以,h(x)在,aa上 单 调 递 减故 存 在x,aa,使得h(x)h(),不符合题意(i i i)当a 时,存在x,使得h(x)l n(e )l n a,不符合题意由(i i)(i i i)知“a”也是“当x时,f(x)恒成立”的必要条件综上所述,实数a的取值范围是(,解法:令tex,则xl nt当x时,f(x)等价于当t时,f(l nt)设h(t)tal ntt注意到h(),下面探求充分性(i)h t()a tal nttah(),h t()a(a)l nt(a)tah()a,即得a所以,“a”是“当t时,h(t)”的充分条件;(i i)当a 时,h()a l i mth t()h()t l i mth t()t ,所 以h t()即存在,使得t(,)时,ht()在(,)上单调递增,存在t(,),使得ht()h()(i i i)当a时,由t易知h t(),所以h(t)在(,)上单调递增,故存在t,使 得h(t)h()由(i i)(i i i)知“a”也是“当t时,h(t)”的必要条件综上所述,“a”是“当t时,h(t)”的充要条件,等价于原命题得证第()问的解法探析针对第()问通过对不等式的整理与变换,将证明不等式恒成立的问题转化为两个数列求和比较的问题具体解答思考过程的思维导图如图所示:方法 一:利 用 第()问 的 结 论,a时,令tex(t),得到l nttt令tnn,则 有l n(n)l nnnn,最后将n,代入证明即可方法二:根据对数的特性作适当变换,证明原不等式等价于证明nk(k)knkl nkk继续化简整理,原问的证明等价于证明tt l nt方法三:以对数均值不等式a babl na l nbab为切入点解答将对数 均 值 不 等 式 作 变 形 并 证明,最后代入特殊值即可证明a babl na l nb图 年 月上半月 试题研究命题考试方法一:巧用赋值,化繁为简证明:由()可知,取a,当x时,有xexex 成立令tex,则t,tex,x l nt,故有tl ntt,即 l nttt对任意t恒成立所以对nN,令tnn,则 l nnnnnnn,整 理 可 得l n(n)l nnnn则nn(l nl n)(l nl n)l n(n)l nn l n(n)故所证不等式成立方法二:应用换元的方法,将问题简化求解证明:因为 nnl n(n)nnl nnnnnnk(k)knkl nkk(n)n l n(nn)nnn l nn令xn,xxxxl n(x)xxl n(x)令tx,t tt l nt所以要证明不等式tt l nt成立,需要构建母函数H(x)xx l nx(x)易得H(x)x()x,则函数H(x)在x时单调递增,且H(),从而证得xx l nx在x时成立当kN时,由所证得的不等式,得kk(k)kk(k)kkkkkkkkl nkk l n(k)l nk所以,由kk l n(k)l nk,可得 nn(l n l n)(l n l n)l n(n)l nn l n(n)综上可知,所证不等式恒成立证毕方法三:应用对数均值不等式切入巧解秒杀有了方法一的分析,我们观察发现:欲证明原问不等式成立,等价于证明不等式xx l nx成立,这与对数均值不等式的前半部分异曲同工因此,应用对数均值不等式a babl na l nbab(a,b,ab)进行证明会更加简洁证明:先证需用到的对数均值不等式的前半部分ab时,a babl na l nb l na l nbaba bl nababab令xab,则需证 l nxxx令g(x)l nxxx(x),则g(x)x,所以函数g(x)在(,)上单调递减,故g(x)g(),即 l nxxx于是a babl na l nb对ab恒成立对于a babl na l nb,取an,bn,nN,则(n)n(n)nl n(n)l nnl n(n)l nn(n)n于 是 有nkl n(k)l nknk(k)k恒成立,即l n(n)l n()()(n)n恒成立故原不等式得证 年的全国新高考数学试卷突破了模拟试题的套路,试题呈现方式与解法都有创新广大数学教师要真正聚焦课堂教学,让行之有效的学法、教法落实到位,继续加强对命题及解题方法与策略的研究 Z命题考试试题研究 年 月上半月