对《数学通报》数学问题2582的再探究.pdf

上海中学数学2023年第7 一8 期51对数学通报数学问题2 5 8 2 的再探究322100浙江省东阳中学金迅婴311121浙江省杭州二中未来科技城学校李盛324000浙江省衢州第一中学刘志新摘要：“猜想一论证”的数学探究活动有利于培养学生的数学核心素养.笔者通过特殊探路、等变不等、方法迁移、类比拓展等，对数学通报数学问题2 5 8 2 进行深入探究.关键词：特殊探路；方法迁移；类比；拓展文献1对数学通报2 0 2 1年第1期提出的数学问题2 5 8 2,即 设a，b,c d 0,a+b 十c十d=4，求证：abcd(a+b+c+d）4 进行了初步探索.从发展学生核心素养，培养学生多角度思考的目的出发，笔者另外选择两个班的学生，引导他们转换视角进行探究，取得了新成果.一、特殊探路，逐步推进数学家希尔伯特曾对“把问题转化为简单的问题”的解题思想作过精辟的论述和高度的评价：“可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有解决，或是没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一，”我国数学家华罗庚也说过：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个快窍.数学问题2 5 8 2 比较复杂，引导学生将问题简单化，注意到欲证不等式当=b=c=d=1时等号成立，先研究比较容易的二元特殊情形，学生提出了如下猜想.猜想1设a,b0,a+b=2,求证：ab(a+6)2.证法1：根据基本不等式，由已知得2 Vaba十b=2,所以0 ab1,故ab(a+b)=ab(a+b)-2ab=ab(42ab)=21-(1ab)0,则ab（a 十b）2(a+b)(1)，当且仅当a=b时等号成立.2受式（1）启发，从二元到三元、四元，学生自然地得到猜想2.猜想2设a,b,c0,则abc(a+b+c)a+6+c)53（2），当且仅当a=b=c时等号成立。3证明：应用基本不等式得（十十）3（y十y十z),令=ab,y=bc,=ca,得(ab十bc十ca)?3abc(a+b+c),应用三元的算术一几何平均值不等式，可以得到（a+b+c)=（+6+c）2（a b b c+ca)3(a+b+c)ab+bc+ca)3V3(a+b+c)abc(a+b+c),变形即证得式(2).猜想3设a,b,c,d0,则abcd(a+b+c+d?)4(a+b+c+d)6(3),当且仅当a=b=c=d4时等号成立.证明：应用不等式（1），得ab（a 十6）a+b),cd(c+d)222()+(c+d2所以abcd(a+6+c+d)=cdab(a+6)c+d+abcd(c+d)cd2+ab 22c+dc+d22+6(cd226d(a+b)2ab-2-2(1-ab)222c+da+b+c+d)4(a+b)2a+622a+b)222(a+b+c+d)4a+b+c+d)a+b+c+d)62=44(a6)d224(5),当且仅当=b=c=52评注：（1)取a十b十c十d=4,即得数学问题2582中的不等式abcd(a+6+d)4.(2)由此可见，当遇到一个比较复杂、感到无从下手的数学问题时，引导学生不妨从研究它的简单情形出发，考虑一个与原问题相似的简化问题，从中找出蕴含的解题思路、方法和规律，再用类似的办法去解决原问题，二、改进结论，等变不等学生发现的猜想1的两种证法是简单自然又简捷明快的，每一种证法都有可取之处.分析猜想1的证法1,要得到0 ab0,且a+b2,则ab(a+6)0,且a+b2,则ab(a+b)的最大值为2.分析猜想1的证法2，证明过程中没有用到条件，6 0,结论又可以改进为结论3.结论3设a,bER,且a+b2,则ab(a+b)0,a+b=2,则(ab)(a+6)2.证明:因为0 ab1,所以m1时，(ab)(a+6)ab(a+6)0,a+b+c3,则abca+62+c2)3.这是2 0 10 年保加利亚数学奥林匹克试题的加强，将a+b十c=3改进为a十b十c0,a+b十c十d4,则abcd(a+b2+c+d)0,则(ab)（a+b)2(a+b)(4)，当且仅当=b时等号成立.2证明：应用四元的算术一几何平均值不等式得(a+b)3=（a+6）+3a b（a+b）4Va b(a+b)（a+b）,开方变形即得证.特例（2 0 0 2 印度数学奥林匹克试题）设a,b0,a+b=2,则(ab)3(a3+63)2.类比猜测，得到如下结论。结论8 设a,b,c,d0,则(abcd)(a+b+c3+d)4(a+b+c+d)154d时等号成立。证明：应用六十元和十六元的算术一几何平均值不等式得（a十b十c十d)3=（十b3+c3+d)+3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+3ab+ac+ad+bc+bd+cd）+6（a b c+abd+acd+bcd)（a+b 3+c 3 d ）+60abcd)1=（a+6 3+c+d）+15 4/abed16/a+b+c+d)(4Vabed)5,变形即得（abcd)3（a+b3c+d）0,a+b+c+d=4,则(abcd)(a+63+c3+d)0(i=1,2,3,n;n,m,kE N,n.m.k2),则(Ia.)ai(a.)un+ki=1是否成立？引导学生思考：猜想的结论是否一定成立?要求用计算器取特殊值进行检验。探究:取a1=a2=0.8,a3=1.4,则a1十a2十a3=3,aia2a3=0.896,ai+a2+a=3.768,则a1a2as（a i+a 2+a)=3.37 6 12 8 3=(ai+a2+a)33(aia2a:)(ai+a+a)=3.025010688上海中学数学2023年第7 一8 期a1+a2+a3)3=33(aia2as)(ai+a2+a）=2.7 10 40 9 5 7 6 448(a+aa+aa),123=33知当m=1或2,n=k=3时，猜想5 不成立.而m=n=k=3,不等式(aia2as)(ai+a2+a)0(i=1,2,3,n,nEN,n2),则不等式laai(2a.)n+2），当且仅i=1简单到复杂，有层次性地推进数学探究活动，促进学当1=2=a,时等号成立（利用数学归纳法生的思维进阶.问题解决回归原点引导学生思维进可以证明，过程略）。阶，方法迁移变式拓展辅助思维进阶，数学方法和思借助现代化的研究方法，如利用电脑软件画出想的渗透、提炼、应用等的全方位的思维体系进阶，解集图像，可以获得一系列有趣的结果（证明略），批提高了学生的创造思维、分析思维、数学表达等高阶量发现新的不等式（证明略）思维能力.结论10(1)设a,b0,则有Vab(ava+bb)0，且十b2，则有Vab(ava+bvb)0，则有ab(b）2(ava+bvb)253限于篇幅，其他结论不再一一列出.五、结语适当设计这样的“猜想一论证”数学探究活动，对于培养学生的数学核心素养是有利的.这类活动的开展需要有好的数学问题，让问题驱动探究.源源不断的新问题在探究进程中自然生成，促使学生主动融人探究活动中。同时，用方法推进探究.如引导学生将解决问题2582的方法进行类比，应用到对新问题及数学思想、方法进行拓展的延伸探究上，提高了学生解决问题的综合思维能力。探究的目的是让学生的数学思维进阶一一从参考文献1李盛，张中华，金迅婴。追根溯源，循脉拓展一数学通报数学问题2 5 8 2 的探究J.数学通报，2 0 2 2（8）。2李世杰，李盛.不等式探秘M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2 0 17：37-38.3宋庆.玩转不等式(8)EB/OL.http:/,cn/s/blog_4c11310201019soi.html.(上接第 44 页）合，方法要融合.即使已经到了二轮复习，仍然要基于新问题探究的视角、知识与方法关联的视角、模型建立与模型进阶的视角，基础依旧是关键.对一些基础知识、基础方法，不可割裂地看待，要关联、对比.在每一次的问题解决中都要留机会让学生巩固基础、试用方法，以问题引导学生由浅人深地思考问题、剖析问题、转化问题，找出探究方向，确定解决路径，着力积累活动经验.所以，这一轮的专题问题要精挑细选，要改编甚至原创，激发学生创新克难的意志力，渐进式积累探究经验。另外，要强调代数思想方法的作用.数学学习崇尚简洁，学习代数思想及其解题方法是为了从数与式的角度简单解析数学对象，学习几何是为了从图形的角度直观地图形化数式对象，二者结合才能更直观简洁.所以，当综合问题呈现时，学生必须有将数学对象量化的思维意识，有将具体对象模型化的数学水准，有将数学新问题转化的探究方向.函数思想恰好是在几何与代数之间做了穿针引线工作，由此建立数、式关联的函数模型，将数量与图形建立关联，明确方向，引领深入探究.因而，要强化和重视初中阶段函数的学习和应用，只有这样才能让数学经验传承、让数学对象简洁、让数学思维生长并优化.参考文献1罗增儒.数学课堂的变迁J.中学数学教学参考（中旬）,2 0 2 1(4):2-10.2郑毓信.聚焦“习题教学”“复归”后的感受与思考J.中学数学教学参考（中旬）,2 0 2 1（5）：2-4.