高中数学高考总复习圆的方程习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习圆的方程习题及详解
一、选择题
1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－3)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
[答案]　B
[解析]　依题意设圆心C(a,1)(a>0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切得，＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B.
(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－2x＋2＝0 B．(x－3)2＋y2＝9
C．x2＋y2＋2x＋2＝0 D．(x－3)2＋y2＝3
[答案]　D
[解析]　双曲线右焦点F(3,0)，渐近线方程y＝±x，故圆半径r＝，故圆方程为(x－3)2＋y2＝3.
2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2，(4－)　　　　 B.(4＋)，(4－)
C.，4－ D.(＋2)，(－2)
[答案]　B
[解析]　如图圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1.又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.

3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为(　　)
A．1　　　 B.　　　　
C.　　　 D．2
[答案]　A
[解析]　∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴dmin＝2－1＝1.
(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝，k＝－.
4．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示的圆的充要条件是(　　)
A.<m<1 B．m>1
C．m< D．m<或m>1
[答案]　D
[解析]　∵方程表示圆
∴16m2＋4－20m>0，∴m<或m>1.
5．已知f(x)＝(x－1)(x＋2)的圆象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是(　　)
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(0，) D．(0，)
[答案]　A
[解析]　f(x)的图象与x轴交于点A(1,0)，B(－2,0)，与y轴交于点C(0，－2)，设过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，a)，易知a＝1.
6．(2010·北京海淀区)已知动圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积(　　)
A．有最大值π B．有最小值π
C．有最大值4π D．有最小值4π
[答案]　D
[解析]　由于圆经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切，所以圆心C到点F与到直线y＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2＝4y，设C点坐标为，
∵⊙C过点F，∴半径r＝|CF|＝＝＋1，直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，即转化为点到直线3x－4y＋20＝0的距离d＝≤＋1，解得x0≥或x0≤－2，从而得圆C的半径r＝＋1≥2，故圆的面积有最小值4π.
7．(文)已知a≠b，且a2sinθ＋acosθ－＝0，b2sinθ＋bcosθ－＝0，则连结(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵A(a，a2)，B(b，b2)都在直线xcosθ＋ysinθ－＝0上，原点到该直线距离d＝＝<1，故直线AB与单位圆相交．
(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为(　　)
A．4 B.
C. D．5
[答案]　B
[解析]　由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，A1F1的垂直平分线x＝－4，代入双曲线方程中得，y＝±，∴圆心到双曲线中心距离为d＝＝，A1F2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.
8．(2010·吉林省质检)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案]　A
[解析]　∵方程x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0表示圆，
∴4＋36－20a>0，∴a<2，
又圆关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，
∴圆心(1，－3)在直线上，
∴－3＝1＋2b，∴b＝－2，∴a－b<4.
9．(文)已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝8
C．(x－4)2＋(y－1)2＝6
D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
[答案]　D
[解析]　由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(理)(2010·北京东城区)已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　画出可行域如图，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.

10．已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：2＋2＝的切线，则此切线长等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为.由于点P到圆心C的距离为d＝＝，而圆C的半径为r＝，那么切线长为＝＝，故选C.
二、填空题
11．(文)(2010·金华十校)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
[答案]　(x－1)2＋2＝1
[解析]　设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝＝＝，即b＝，∴圆方程为(x－1)2＋2＝1.

(理)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________________．
[答案]　(x－4)2＋y2＝16
[解析]　由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．
设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为，于是有2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f ′(x)<0恒成立，且f(4)＝1，若f(x2＋y2)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．
[答案]　6－4
[解析]　依题意得，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵f(x2＋y2)≤1，f(4)＝1，∴f(x2＋y2)≤f(4)，
∴x2＋y2≥4，
又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，
(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是点(x，y)到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r－|OC|)2＝(2－)2＝6－4.
13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
[答案]　(x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析]　∵M是以AB为直径的圆的圆心，|AB|＝6，∴半径为3，
又⊙M经过点C，∴|CM|＝|AB|＝3，
∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
(理)(2010·胶州三中)以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程为________．
[答案]　(x－5)2＋y2＝16
[解析]　由c2＝41－16＝25得c＝5，∴椭圆右焦点F2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y＝±x，∴圆半径r＝＝4，∴圆方程为(x－5)2＋y2＝16.
14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．
[答案]　(x＋1)2＋y2＝2
[解析]　在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，
由点到直线的距离公式得圆的半径
R＝＝，
∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.
(理)(2010·瑞安中学)已知圆x2＋y2＝r2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r的范围是______．
[答案]　(0,2]
[解析]　如图，曲线C：|x|＋|y|＝4为正方形ABCD，

∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)
∴0<r≤|OM|＝2.
三、解答题
15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
[解析]　(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，
＝1，∴k＝.
∴过点A的圆的切线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
过点A的圆的切线OA：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝，
S＝·d·|AO|＝.
16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C的圆心为C(m,0)，m<3，半径为，圆C与椭圆E：＋＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．
[解析]　(1)由已知可设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝5(m<3)
将点A的坐标代入圆C的方程得，(3－m)2＋1＝5
即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5
∵m<3，∴m＝1
∴圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.
(2)直线PF1能与圆C相切
依题意设直线PF1的方程为y＝k(x－4)＋4，
即kx－y－4k＋4＝0
若直线PF1与圆C相切，则＝
∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝，或k＝
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)
∴由椭圆的定义得：
2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝5＋＝6
∴a＝3，即a2＝18，∴b2＝a2－c2＝2
直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.
(理)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(x－p)2＋(y－q)2＝8.
∵直线y＝x与圆C相切于坐标原点O，
∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y＝x.
于是有，
∴，或.
由于点C(p，q)在第二象限，故p<0.
所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)∵椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴2a＝10，∴a＝5.
故椭圆右焦点为F(4,0)．
若圆C上存在异于原点的点Q(x0，y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，则有|QF|＝|OF|，
于是(x0－4)2＋y02＝42，且x02＋y02≠0①
由于Q(x0，y0)在圆上，故有(x0＋2)2＋(y0－2)2＝8.②
解①和②得，
故圆C上存在满足条件的点Q.
17．(文)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程．
[解析]　(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．
∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称．
∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m＝－1.
(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
∴设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ方程为y＝－x＋b.
将y＝－x＋b代入圆方程得，
2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.
Δ＝4(4－b)2－8×(b2－6b＋1)>0，
∴2－3<b<2＋3，
由韦达定理得，
x1＋x2＝b－4，x1·x2＝，
y1·y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)
＝b2－b(x1＋x2)＋x1·x2＝，
∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0.
解得b＝1∈(2－3，2＋3)．
∴所求的直线PQ方程为y＝－x＋1.
(理)已知动圆P与定圆B：x2＋y2＋2x－31＝0内切，且动圆P经过一定点A(，0)．
(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；
(2)若已知点D(0,3)，M、N在曲线E上，且＝λ，求实数λ的取值范围．
[解析]　(1)定圆B的圆心B(－，0)，半径r＝6，
∵动圆P与定圆B内切，且过A(，0)，
∴|PA|＋|PB|＝6.
∴动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝6，a＝3，c＝，∴b2＝a2－c2＝4.
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝λ，可得(x1，y1－3)＝λ(x2，y2－3)，
故.
∵M，N在动点P的轨迹上，
∴，
消去x2得，＝1－λ2.
解得y2＝(λ≠1)或λ＝1.
①当λ＝1时，M与N重合，＝，满足条件．
②当λ≠1时，∵|y2|≤2，
∴≤2，解得≤λ≤5，且λ≠1.
综上可得λ的取值范围是.
含详解答案