中考数学专题讲练-相似一(解析版).doc

中考数学专题讲练 相似一（解析版）

相似（一）

一． 角平分线相似模型
常见题模型如下：

二． 平行相似模型
“A”型
如图，，则有．

“8”字型
如图，，则有．

常见的一些变形

注意：构造平行的方法实质是为了构造出“A”型和“8”字型．

三．K型图
如下图，

图1 图2 图3

一． 考点：相似模型．

二．重难点：平行相似模型，k型图．

三．易错点：平行类相似模型虽然是平行线分线段成比例的一种衍生，但是不同与后者的是平行线类相似模型更多的情况是利用相似图形的性质去证明一些结论，可能会用到一些其他的模型，方法比较综合．

题模一：角平分线相似模型

例1.1.1 如图，是的角平分线，求证：．

【答案】 如解析
【解析】 如图

例1.1.2 如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．

（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+β=180°时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
②若=2，求的值．
【答案】 见解析
【解析】

（1）PC=PD，∠PDC=∠AOB．

（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC==30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=∠AOB，

（3）①成立，
②∵∠PDC=∠AOB，
∠POD=∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴=．
又=2，
∴=．
题模二：平行相似模型

例1.2.1 如图，已知，若，， ，求证：．

【答案】 见解析
【解析】 证明：，，，
，，
，即．

例1.2.2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．

【答案】 见解析
【解析】 ∵AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴，
∵CM2=EM•FM．
∴，
∴，
∴AD∥BC．

例1.2.3 已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且=，=，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且=，=，点P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=____．
（请直接将该小问的答案写在横线上）
【答案】 （1）见解析（2）正确（3）∠A
【解析】 本题利用了三角形中位线定理及平行线分线段成比例的性质求解，从三角形的二等分点到n等分点，从特殊到一般，培养学生的探究能力．

（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）
∴∠MPN=∠A．（3分）
（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分）
如图所示，连接MN，（5分）
∵==，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，=，
∴MN∥BC，MN=BC，（6分）
∵点P1、P2是边BC的三等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
（7分）
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
（3）∠A．
理由：连接MN，
∵==，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，=，
∴MN∥BC，MN=BC，
∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC，
∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．
题模三：K型图

例1.3.1 【试题再现】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，过点A、B分别作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，则DE=AD+BE（不用证明）．
（1）【类比探究】如图2，在△ABC中，AC=BC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
（2）【拓展延伸】①如图3，在△ABC中，AC=nBC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．

【答案】 （1）DE=AD+BE；理由见解析；（2）①DE=AD+nBE；证明见解析；②DE= nBE﹣AD．
【解析】 （1）【类比探究】猜想DE=AD+BE．
理由：如图2，

∵∠ADC=100°，
∴∠DAC+∠DCA=80°．
∵∠ACB=100°，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DAC=∠ECB．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD+BE；

（2）【拓展延伸】①猜想：DE=AD+nBE．
理由：如图3，

∵∠ADC=100°，
∴∠DAC+∠DCA=80°．
∵∠ACB=100°，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DAC=∠ECB．
∵∠ADC=∠CEB，
∴△ADC∽△CEB，
∴===n，
∴CE=AD，CD=nBE，
∴DE=DC+CE=AD+nBE；
②DE=AD﹣nBE或DE=nBE﹣AD．
提示：同①可得：CE=AD，CD=nBE．
如图4，

DE=CE﹣CD=AD﹣nBE；
如图5，

DE=CD﹣DE=nBE﹣AD．

随练1.1 如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论是______．

【答案】 ①②③⑤
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME，故①正确；
∴PE=EM=PM，
同理，FP=FN=NP．
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，
∴PM+PN=AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
∴PE2+PF2=PO2，故③正确；
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；
∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P是AB的中点．故⑤正确．

随练1.2 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：．

【答案】 见解析
【解析】 易证: ∴
∵ ∴∴∴．

随练1.3 如图，是一个边长为2的等边三角形，，垂足为点．过点作，垂足为点；再过点作，垂足为点；又过点作，垂足为点；……；这样一直作下去，得到一组线段：，，，……，则线段的长为________，线段的长为_______（n为正整数）

【答案】 ；
【解析】 该题考查的是正三角形中线段计算．
，
在直角三角形中，可以发现，为斜边，为长直角边，即，
同理可得，故．

随练1.4 如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.证明：是定值．

【答案】 见解析
【解析】 过点作,则为等腰三角形；且

为定值 为定值为定值

随练1.5 （1）尝试：如图1，已知A、E、B三点在同一直线上，且，
求证：．

（2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且，则（1）中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．

（3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，，，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得．则当BP为何值时，点E为CD的中点．

【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）当BP为1或8时，点E为CD的中点．
【解析】 （1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴△ADE∽△BEC，
∴，∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴△ADE∽△BEC，
∴，∴；
（3）解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴，，
∴，
∴△ABP∽△PCE，∴，
∵，，点E为CD的中点，
∴，假设，
∴，∴，
解得：，．
∴当BP为1或8时，点E为CD的中点．

随练1.6 探究问题：
已知AD、BE分别为的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O．
（1）为等边三角形，如图1，则________；
（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若为一般三角形（如图2），（1）中的结论仍成
立，请你给予证明．
（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：
如图3，在中，点E是边AC的中点，AD平分，于点F，若求：的周长．

【答案】 （1）1（2）见解析（3）
【解析】 该题考查的是相似三角形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判
定与性质以及勾股定理等知识．
（1）2：1 ---------------------------------------1分
（2）证明：联结DE
∵D、E为AC、BC中点
∴DE∥AB，
∴△∽△AOB
∴------------------------------------------3分
（3）并延长AD交CG于点H．
∵E是边AC的中点
∴B是边AG的中点
∴BE∥CG
∵AD平分∠BAC, AD⊥BE于点F
∴易证△ABE为等腰三角形
∵BE∥CG
∴△AGC是等腰三角形且AG=AC
∵AF⊥BE
∴AH⊥CG
∴H为CG中点

由上述结果可知：， 　　------------------------------5分
∴
∵
∴
∴
∵BE为中位线
∴
∵BE∥CG
∴
在Rt△DHC中，得-----------------------------------------------6分
同理可得
∴
解Rt△AHC可得
∴　　　--------------------------------------------7分
∴△ABC周长为-----------------------------------------------8分

随练1.7 已知，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．
（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A，求证：；
（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足，求：△POB与△PBC的面积之比；
（3）当OB=2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足．请求出OP的长．

【答案】 （1）见解析；（2）△POB与△PBC的面积之比为；（3）或．
【解析】 （1）证明：作PF⊥OM于F，作PG⊥ON于G，
∵OP平分∠MON，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴△PAF≌△PBG，
∴；
（2）由（1）得：，，
∴，
∵，OP平分∠MON，
∴，
∴，
又，
∴△POB∽△PBC，
∴
∴△POB与△PBC的面积之比为；
（3）①当点A在射线OM上时（如图乙1），

易求得：，
∵，而，
∴，
作BE⊥OT于E，∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
②当点A在射线OM的反向延长线上时（如图乙2），
，
此时，
∵，而，
∴，
作BE⊥OT于E，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，∴，
∴综上所述，当时，或．

作业1 如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（ ）

A． 1：6
B． 1：9
C． 2：13
D． 2：15
【答案】D
【解析】 ∵AE：ED=2：1，
∴AE：AD=2：3，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD=4：9，
∴S△ACD=S△ABE，
∵AE：ED=2：1，
∴S△ABE：S△BED=2：1，
∴S△ABE=2S△BED，
∴S△ACD=S△ABE=S△BED，
∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=2S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，
∴S△BDE：S△ABC=2：15

作业2 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：
①∠AEF=∠BCE；
②AF+BC＞CF；
③S△CEF=S△EAF+S△CBE；
④若=，则△CEF≌△CDF．
其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）

【答案】 ①③④
【解析】 根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确，然后求出△AEF和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=HE，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明即可．
解：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，故①正确；
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠AFE=∠EFC，
过点E作EH⊥FC于H，
则AE=HE，
在△AEF和△HEF中，
，
∴△AEF≌△HEF（HL），
∴AF=FH，
同理可得△BCE≌△HCE，
∴BC=CH，
∴AF+BC=CF，故②错误；
∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，
∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；
若=，则cot∠BCE==2×=，
∴∠BCE=30°，
∴∠DCF=∠ECF=30°，
在△CEF和△CDF中，
，
∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，
综上所述，正确的结论是①③④．

作业3 如图，点，，，…，点，，，…，分别在射线OM，ON上．，，，，…．…．则________，___________（n为正整数）．

【答案】 6；
【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找规律．
∵
∴

∵∥∥∥
∴
∴
∴

∴

作业4 （1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

【答案】 （1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）1秒或5秒
【解析】 （1）如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴AD•BC=AP•BP；

（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．
理由：如图2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴AD•BC=AP•BP；

（3）如图3，

过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5﹣4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，
∴5×1=t（6﹣t），
解得：t1=1，t2=5，
∴t的值为1秒或5秒．

作业5 如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且，，．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．

【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】 （1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，
∴．
∵，∴，
∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；
（2）证明：∵△BCD∽△DCE，
∴（相似三角形的对应角相等）．
∵（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，
∴．又，
∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；
（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴，∴，解得，
∴．

作业6 如图1，中，分别平分．是的外角的平分线，交延长线于，连接．
（1）变化时，设．若用表示和，那么= ，∠E=
（2）若，且与相似，求相应长；
（3）如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．

【答案】 （1），；（2）；（3），
【解析】 （1），
（2）由，得：，；
即：，
∴为直角三角形，且
∴
，

作业7 如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别于对角线BD相交于点E，F．记PM=a，PN=b，当点P运动时，ab=2．
（1）求证：EF2=BE2+DF2；
（2）求证：△ABF∽△EDA，并求∠EAF的度数；
（3）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】 （1）见解析
（2）见解析
（3）S有最小值，且S最小=2﹣2
【解析】 （1）证明：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠ABF=∠ADE=45°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴四边形AMPN是矩形，
∴△BME、△DNF、△PEF均为等腰直角三角形，
∵PM=a，PN=b，
∴BM=EM=2﹣b，DN=FN=2﹣a，PE=PF=a+b﹣2，
∴DF2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8，
BE2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8，
EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8，
∵ab=2，
∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16，
∴EF2=BE2+DF2；
（2）证明：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠ABF=∠ADE=45°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴四边形AMPN是矩形，
∴PM∥AN，NP∥AM，
∴==， ==，
∴DE=AM，BF=AN，
∴DE•BF=AM•AN=2ab，
∵ab=2，
∴DE•BF=4，
∴DE•BF=AB•AD，即=，
又∵∠ABF=∠EDA=45°，
∴△ABF∽△EDA，
∴∠BAF=∠AED，
∵∠BAF=∠EAF+∠BAE，∠AED=∠ABF+∠BAE，
∴∠EAF=∠ABF=45°；
（3）S=S△ABD﹣S△ABE﹣S△ADF
=AB2﹣AB•ME﹣AD•FN
=×22﹣×2×（2﹣b）+×2×（2﹣a）
=a+b﹣2
=（）2+（）2﹣2+2﹣2
=（﹣）2+2﹣2
∵ab=2，
∴S=（﹣）2+2﹣2，
∵（﹣）2≥0，
∴当﹣=0，即a=b=时，S有最小值，且S最小=2﹣2．

33 / 33